Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2021

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ ist durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x) = -4x \cdot e^{-2x} + 0{,}4 \quad \text{mit } x \in \mathbb{R} \text{.}$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Teilaufgabe b)

b) (1)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Bereichs, den der Graph von $f$ mit der $x$-Achse einschließt.

b) (2)

Betrachtet wird die Gleichung $\int_0^b f(x)\,\mathrm{d}x = 0$.

Ihre beiden Lösungen $b_1$ und $b_2$ werden in Abbildung 2a bzw. Abbildung 2b veranschaulicht.

(i)

Berechnen Sie $b_1$ und $b_2$.

(ii)

Erläutern Sie anhand der beiden Abbildungen, warum $b_1$ und $b_2$ die genannte Gleichung lösen.

(iii)

Geben Sie den Wert des Integrals $\int_{b_1}^{b_2} f(x)\,\mathrm{d}x$ an, ohne weiter zu rechnen.

Teilaufgabe c) (2)

In Abbildung 3 ist zusätzlich zum Graphen der Funktion $f$ die Tangente $g$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P(2 \mid f(2))$ dargestellt.

Außer dem Berührpunkt $P(2 \mid f(2))$ besitzen der Graph von $f$ und die Tangente $g$ genau einen weiteren gemeinsamen Punkt $S(x_S \mid f(x_S))$.

[Hinweis aus c)(1): Die Tangente $g$ hat die Gleichung $y = 0{,}2198x - 0{,}1861$.]

c) (2)

Der Graph von $f$ und die Tangente $g$ begrenzen eine gemeinsame Fläche.

(i)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieser Fläche.

(ii)

Bestimmen Sie, welcher prozentuale Anteil dieser Fläche oberhalb der $x$-Achse liegt.

%