Aufgabe 1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2019

Ein Staubecken, das insgesamt $100\,000\text{ m}^3$ Wasser aufnehmen kann, enthielt um 12:00 Uhr eines bestimmten Tages $88\,000\text{ m}^3$ Wasser. Der Tabelle können Zufluss- und Abflussraten entnommen werden, die an diesem Tag zu bestimmten Zeitpunkten für das Wasser im Becken gemessen wurden:

Uhrzeit · 12:00 · 13:00 · 14:00 · 15:00 · 16:00 · 17:00 · 18:00

Zuflussrate in $1000\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ · 4,07 · 5,56 · 7,30 · 5,04 · 1,75 · 0,38 · 0,46

Abflussrate in $1000\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ · 1,02 · 0,98 · 3,50 · 5,00 · 5,50 · 5,00 · 3,50

Die zeitliche Entwicklung der momentanen Änderungsrate des Volumens des Wassers im Becken kann für den Zeitraum von 12:00 Uhr bis 18:00 Uhr modellhaft mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = (3 - x) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}x^2 + x}$ beschrieben werden. Dabei ist $x$ die seit 12:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $f(x)$ die momentane Änderungsrate in $1000\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$.

Im verwendeten Modell, in dem $x$ die seit 12:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $f(x)$ die momentane Änderungsrate des Wasservolumens ist, gilt:

Für den Zeitraum zwischen 12:00 Uhr und 13:00 Uhr kann die momentane Abflussrate mit $1000\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ als konstant angenommen werden.

Für den Zeitraum zwischen 13:00 Uhr und 18:00 Uhr lässt sich die zeitliche Entwicklung der momentanen Abflussrate mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $s$ mit $s(x) = -0{,}5x^2 + 4x - 2{,}5$ beschreiben. Dabei ist $s(x)$ die momentane Abflussrate in $1000\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$.

d)

Berechnen Sie für den Zeitraum zwischen 12:00 Uhr und 18:00 Uhr auf der Grundlage des Modells, wie viel Wasser aus dem Becken abfloss und wie viel Wasser zufloss.

e)

Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem das Aufnahmevermögen des Beckens überschritten worden wäre, wenn sich die momentane Abflussrate von 13:30 Uhr an nicht mehr verändert hätte.