Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2021

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus mehreren zehntausend Arbeiterinnen, wenigen hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Eier legt allein die Königin; aus ihnen gehen neue Bienen hervor.

Für ein bestimmtes Bienenvolk wurde der Verlauf des Jahres 2019 sorgfältig beobachtet und anschließend durch ein Modell beschrieben. Weil fast alle Eier zu Arbeiterinnen werden, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend heißen die Arbeiterinnen „Bienen“.

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Die Zunahme der Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen wird für $0 \le t \le 232$ durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800\,000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Dabei entspricht $t = 0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t = 1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t = 232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag“. Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0; 232]$.

Für die gesamte Aufgabe gilt: Eine Umrechnung in Datumsangaben ist nicht erforderlich!

Ist ein Bienenvolk zu groß geworden oder fehlt ihm der Platz im Nest, spaltet es sich auf und sucht neue Nistplätze – man spricht vom Schwärmen. Die meisten Imkerinnen und Imker wollen das verhindern.

Um vorherzusagen, wann ein Schwärmen der Bienen droht („Schwarmzeit“), nutzt ein Imker zwei unterschiedliche Ansätze:

Bei Ansatz A geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn die Zuwachsrate mehr als 1300 Bienen pro Tag beträgt.

Bei Ansatz B geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn in den nächsten 21 Tagen mindestens 30 000 Bienen schlüpfen werden.

Die Lebenszeit einer Biene nach dem Schlüpfen beträgt im Frühjahr und Sommer wegen ihrer hohen Arbeitsbelastung durch die Brutpflege, die Wachsproduktion und das Sammeln von Nahrung durchschnittlich nur ca. 35 Tage („Sommerbienen“). Diese Lebenserwartung gilt für fast alle Bienen, die vor dem 1. September ($t \le 181$) schlüpfen. Am Ende des 5. Oktober ($t = 216$) sind die meisten Sommerbienen demnach gestorben.

Die Sterberate (in der Einheit „Bienen pro Tag“) der Sommerbienen wird für $35 \le t \le 216$ mit der Funktion $g$ mit

$$g(t) = \frac{1}{800\,000}t^4 - \frac{1}{30\,000}t^3 - \frac{5}{18}t^2 + 59{,}25t - 1733, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Für $35 \le t \le 216$ beschreibt die Differenzfunktion $d$ mit $d(t) = f(t) - g(t)$ die Änderungsrate der Bienenanzahl.

Bienen, die ungefähr ab dem 1. September schlüpfen („Winterbienen“), haben im Herbst und Winter kaum Arbeit und leben daher deutlich länger. Viele von ihnen überstehen den Winter gemeinsam mit ihrer Königin und kümmern sich im folgenden Frühjahr um die erste Brut, ehe sie sterben. Ab dem Ende des 5. Oktober ($t = 216$) besteht das Volk in diesem Modell aus Winterbienen und einigen spät geschlüpften Sommerbienen mit erhöhter Lebenserwartung.

Die Sterberate der Bienen ab dem 6. Oktober soll durch eine Funktion $h$ modelliert werden. Die Funktion $h$ soll für $t \ge 216$ ausschließlich positive Funktionswerte aufweisen. Ihr Graph soll streng monoton fallen und sich dabei langfristig dem Graphen der konstanten Funktion $l$ mit der Gleichung $l(t) = 20$ annähern.

Bei passender Wahl der Parameter $a$ und $b$ eignet sich der Ansatz

$$h(t) = a \cdot \mathrm{e}^{b\cdot t} + 20, \quad t \ge 216,$$

zur Bestimmung einer Funktion $h$, die die obigen Anforderungen erfüllt.

Teilaufgabe a)

(4)

Der Wert des Integrals $\int_{9}^{10} f(t)\,\mathrm{d}t$ entspricht der Zahl der Bienen, die am 13. März schlüpfen.

[Begründung nicht erforderlich.]

Ermitteln Sie diese Zahl rechnerisch.

(5)

Bestimmen Sie, wie viele Bienen im Mittel pro Tag schlüpfen, und zwar vom Beginn des 4. März ($t = 0$) bis zum Ende des 21. Oktober ($t = 232$).

Teilaufgabe b)

(2)

Ermitteln Sie eine Gleichung, die es erlaubt, Anfang und Ende der Schwarmzeit nach Ansatz B zu berechnen.

Zeigen Sie, dass die Schwarmzeit nach Ansatz B von $t_1 \approx 47$ bis $t_2 \approx 104$ dauert.

Teilaufgabe c)

(1)

Begründen Sie, dass sich für $35 \le t \le 216$ die Änderungsrate der Bienenanzahl (in der Einheit „Bienen pro Tag“) durch die Funktion $d$ mit $d(t) = f(t) - g(t)$ beschreiben lässt.

(2)

Geben Sie anhand des Graphen von $d$ in Abbildung 2 näherungsweise den Zeitpunkt an, zu dem das Bienenvolk die größte Bienenanzahl hat, und begründen Sie Ihre Angabe.

(3)

Bis zum Ende des 7. April ($t = 35$) sind schon 240 Bienen gestorben.

Zeigen Sie, dass am Ende des 5. Oktober ($t = 216$) noch nicht alle Bienen tot sind, die vor dem 1. September (also bis $t = 181$) geschlüpft sind.