Aufgabe 1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2026

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $f_a(x) = \frac{60}{a} \cdot x \cdot (x-a)^2$ und $a \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.

An einem bestimmten Sommertag hat das Strandbad an einem Badesee von 9:00 Uhr bis 21:00 Uhr geöffnet. Außerhalb der Öffnungszeiten befindet sich kein Gast im Strandbad. Am betrachteten Tag wird die Anzahl der Gäste erfasst, die bis zu einem bestimmten Zeitpunkt das Strandbad betreten. Dabei wird vereinfachend angenommen, dass an diesem Tag jeder Gast genau einmal das Strandbad betritt.

Die in $[0;12]$ definierte Funktion $g$ ist durch$$g(x) = \begin{cases} f_{11}(x) & \text{für } 0 \le x \le 11 \\ 0 & \text{für } 11 < x \le 12 \end{cases}$$festgelegt. Die Funktion $g$ beschreibt modellhaft die momentane Änderungsrate der erfassten Anzahl, die als Eingangsrate bezeichnet wird. Dabei ist $x$ die seit 9:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $g(x)$ die Eingangsrate in der Einheit $\frac{1}{\text{h}}$.

Die Anzahl der Gäste, die an dem betrachteten Tag bis zu einem bestimmten Zeitpunkt das Strandbad verlassen, wird ebenfalls erfasst. Die momentane Änderungsrate dieser Anzahl (Ausgangsrate) wird durch die in $[0;12]$ definierte Funktion $h$ beschrieben. Dabei ist $x$ die seit 9:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $h(x)$ die Ausgangsrate in der Einheit $\frac{1}{\text{h}}$. In der Abbildung sind die Graphen von $g$ und $h$ dargestellt.

b

Für jeden Wert von $a$ schließt $G_a$ mit der $x$-Achse eine Fläche ein. Berechnen Sie den Wert von $a$, für den der Inhalt dieser Fläche $10$ beträgt. [3 BE]

g

Die beiden Graphen und die $x$-Achse schließen drei Flächen ein, die in der Abbildung mit I, II und III bezeichnet sind. Erläutern Sie im Sachzusammenhang, dass die Inhalte der Flächen I und III gleich sind. [4 BE]

h

Betrachtet wird zudem die in $[0;12]$ definierte Funktion $D$ mit $D(x)=\int_{0}^{x}(g(t)-h(t))\,\mathrm{d}t$.

Im Bereich $2 \le x \le 11$ nimmt die Funktion $D$ ihr Maximum an. In diesem Bereich schneiden sich die Graphen von $g$ und $h$ genau in einem Punkt, dessen $x$-Koordinate mit $x_S$ bezeichnet wird. Begründen Sie, dass das Maximum von $D$ an der Stelle $x_S$ angenommen wird, und geben Sie die Bedeutung des Maximums von $D$ im Sachzusammenhang an. [4 BE]