Aufgabe CAS 3 - 1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2018

Für jeden Wert von $k \in \mathbb{R}^+$ wird die Funktion $f_k: x \mapsto \sqrt{k \cdot x^2 + 400}$ mit Definitionsbereich $\mathbb{R}$ betrachtet.

Zusätzlich ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g: x \mapsto \frac{1}{10} \cdot x^2 + 20$ gegeben.

Die mittlere Abweichung der Funktionswerte von $f_5$ und $g$ in einem Intervall $[a; b]$ kann mit dem Term $\frac{1}{b-a} \cdot \int_a^b |f_5(x) - g(x)| \mathrm{d}x$ berechnet werden.

g)

Bestimmen Sie damit die mittlere Abweichung der Funktionswerte von $f_5$ und $g$ im Intervall $[0; 15]$.

h)

Die mittlere Abweichung der Funktionswerte von $f_5$ und $g$ im Intervall $[0; 15]$ könnte auch mit dem Term

$$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{10} \cdot \int_0^{10} (f_5(x) - g(x)) \mathrm{d}x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} \cdot \int_{10}^{15} (g(x) - f_5(x)) \mathrm{d}x$$

berechnet werden. Beschreiben Sie einen sinnvollen Gedankengang, mit dem man zu diesem Term gelangt.