Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR 2021

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ ist durch folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x) = -4x \cdot e^{-2x} + 0{,}4 \text{ mit } x \in \mathbb{R}.$$

Den Graphen von $f$ zeigt Abbildung 1.

Im Weiteren können Sie ohne Beweis folgende Aussage nutzen:

Die erste Ableitung von $f$ lautet: $f'(x) = -4e^{-2x} \cdot (1 - 2x)$.

Teilaufgabe b)

b) (1)

Zeigen Sie, dass die Funktion $F$ mit der Funktionsgleichung

$$F(x) = 2x\cdot e^{-2x} + e^{-2x} + 0,4x$$

eine Stammfunktion von $f$ darstellt.

b) (2)

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ mit der $x$-Achse einschließt.

FE

b) (3)

Gegeben ist die Gleichung

$$\int_{0}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = 0.$$

Diese Gleichung besitzt zwei Lösungen $b_1$ und $b_2$, die Abbildung 2a bzw. Abbildung 2b zeigen.

Erläutern Sie anhand der beiden Abbildungen, dass $b_1$ und $b_2$ die genannte Gleichung lösen.