Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2021

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ ist durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x) = -4x \cdot e^{-2x} + 0{,}4 \quad \text{mit } x \in \mathbb{R}.$$ Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Teilaufgabe b)

b)(1)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Gebiets, das der Graph der Funktion $f$ mit der $x$-Achse begrenzt.

b)(2)

Betrachtet wird die Gleichung $\int_{0}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = 0$. Ihre beiden Lösungen $b_1$ und $b_2$ sind in Abbildung 2a bzw. Abbildung 2b zu sehen.

(i)

Berechnen Sie $b_1$ und $b_2$.

(ii)

Erläutern Sie anhand der beiden Abbildungen, warum $b_1$ und $b_2$ die genannte Gleichung lösen.

(iii)

Geben Sie den Wert des Integrals $\int_{b_1}^{b_2} f(x)\,\mathrm{d}x$ an, ohne weitere Rechnungen durchzuführen.

Teilaufgabe c)(2)

Die Tangente $g$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P(2\mid f(2))$ besitzt näherungsweise die Gleichung $y = 0{,}2198x - 0{,}1861$ (zur Kontrolle aus c)(1): $y = 0{,}22x - 0{,}186$). Zwischen dem Graphen von $f$ und der Tangente $g$ liegt ein eingeschlossenes Flächenstück.

c)(2)(i)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Flächenstücks.

c)(2)(ii)

Bestimmen Sie, welcher prozentuale Anteil dieser Fläche oberhalb der $x$-Achse liegt.

%