Aufgabe 2 - Integralrechnung: Flächen und Bestände · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2021

Die Abbildung 2 zeigt schematisch die Profillinie des Längsschnitts einer Skipiste in einer Skihalle. Die Piste ist in Querrichtung nicht geneigt und durchgehend 30 m breit.

Die Profillinie wird für $0 \le x \le 41{,}5$ modellhaft durch den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $p: x \mapsto -0{,}000004x^4 + 0{,}015x^2 - 0{,}1x + 0{,}1875$ dargestellt. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die x-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 10 m in der Realität.

Über der Piste verläuft in deren Längsrichtung ein Seil. Die beiden Enden des Seils werden im Modell durch $A(5 \mid 2{,}31)$ und $B(37 \mid 10{,}68)$ dargestellt; der Verlauf des Seils kann mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h: x \mapsto b \cdot c^x$ mit $b,c \in \mathbb{R}^+$ beschrieben werden.

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Die Abbildung 3 zeigt grau markiert die Schneeauflage im unteren Bereich der Piste; dazu wurde die Abbildung 2 in Richtung der y-Achse stärker vergrößert als in Richtung der x-Achse. Der Untergrund, auf dem der Schnee aufgebracht ist, wird für $0 \le x \le 5$ durch die x-Achse dargestellt. Für den übrigen Teil der Piste soll davon ausgegangen werden, dass die in vertikaler Richtung gemessene Schneehöhe $60\text{ cm}$ beträgt.

Bestimmen Sie das Volumen der Schneeauflage der gesamten Piste.