Aufgabe 1 (Technik) - Integralrechnung: Flächen u… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS)

Eine Anlage, die ein Kraftwerk mit Kohle versorgt, besteht aus einem Förderband und einem Bunker. Der Bunker ist aus einem zylinderförmigen und einem kegelförmigen Teil zusammengesetzt (vgl. Abbildung 1). Die Dichte der Kohle beträgt $1{,}5\,\frac{\text{t}}{\text{m}^3}$.

Abbildung 2 zeigt den Querschnitt der Kohle auf dem beladenen Förderband. Die Form der Unterseite der Kohle kann im eingezeichneten Koordinatensystem durch eine Funktion $f$ mit $f(x) = ax^4 + b$ und $a, b \in \mathbb{R}$ beschrieben werden, die Form der Oberseite durch eine quadratische Funktion $g$.

Unter dem Massenstrom der Kohle an einer bestimmten Stelle versteht man die Masse der Kohle, die an dieser Stelle in einer bestimmten Zeit vorbeitransportiert wird.

Um den Bunker mit Kohle zu befüllen, lässt man das stets beladene Förderband anlaufen. Während des Anlaufens kann die zeitliche Entwicklung des Massenstroms der Kohle auf dem Förderband modellhaft mithilfe einer Funktion $\dot{m}_{\text{An}}$ mit $\dot{m}_{\text{An}}(t) = j \cdot (1 - \text{e}^{-kt})$, $j, k \in \mathbb{R}$ beschrieben werden. Dabei ist $t$ die seit Beginn des Anlaufens vergangene Zeit in Sekunden und $\dot{m}_{\text{An}}(t)$ der Massenstrom in Tonnen pro Sekunde. Abbildung 3 zeigt den Graphen von $\dot{m}_{\text{An}}$, der sich der Gerade mit der Gleichung $y = 3{,}6$ asymptotisch nähert.

Mit dem Ende des sechs Sekunden dauernden Anlaufens erreicht das Band seine maximale Geschwindigkeit. Diese Geschwindigkeit bleibt bis zum Zeitpunkt $t_{\text{Aus}}$, zu dem der Antrieb abgeschaltet wird, erhalten. Anschließend läuft das Förderband bis zum Stillstand sechs Sekunden lang aus. Während des gesamten Vorgangs des Befüllens wird die zeitliche Entwicklung des Massenstroms der Kohle auf dem Förderband durch eine Funktion $\dot{m}$ mit

$$\dot{m}(t) = \begin{cases} \dot{m}_{\text{An}}(t) = -3{,}6 \cdot \text{e}^{-\frac{5}{6}t} + 3{,}6; & 0 \le t < 6 \\ \dot{m}_{\text{k}}(t) = 3{,}6; & 6 \le t < t_{\text{Aus}} \\ \dot{m}_{\text{Aus}}(t) = 3{,}6 \cdot \text{e}^{-\frac{5}{6}(t - t_{\text{Aus}})}; & t_{\text{Aus}} \le t \le t_{\text{Aus}} + 6 \end{cases}$$ beschrieben. Abbildung 4 zeigt den Graphen von $\dot{m}$.

Der Antrieb des Förderbands soll nun zum Zeitpunkt $t_{\text{Aus}}$ nicht abgeschaltet, sondern bis zum Stillstand allmählich verringert werden. Während des so geänderten Auslaufens kann die zeitliche Entwicklung des Massenstroms der Kohle auf dem Förderband im Modell durch eine quadratische Funktion $\dot{m}^*_{\text{Aus}}$ mit

$$\dot{m}^*_{\text{Aus}}(t) = -p \cdot (t - t_{\text{Aus}})^2 + 3{,}6, \quad p \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \text{ und } t_{\text{Aus}} \le t \le t_{\text{Aus}} + \sqrt{\frac{3{,}6}{p}}$$ beschrieben werden.

Das Förderband wird durch einen $12\text{ m}$ langen Stahlträger getragen. Die auf den Stahlträger wirkende Streckenlast wird durch die Funktion $q$ mit $q(x) = -8000$ angegeben. Dabei ist $x$ der Abstand von einem Ende des Trägers in Metern und $q(x)$ die Streckenlast in Newton pro Meter. Im Hinblick darauf, ob der Stahlträger der Belastung standhält, ist das Biegemoment relevant, das $150\text{ kNm}$ nicht überschreiten darf. Das Biegemoment lässt sich durch eine Funktion $M$ beschreiben, dessen Zusammenhang mit der Streckenlast durch die Gleichung $M''(x) = q(x)$ dargestellt wird. Dabei ist $M''$ die zweite Ableitung von $M$ und $M(x)$ das Biegemoment in Newtonmetern. Es soll angenommen werden, dass das Biegemoment an jedem der beiden Enden des Stahlträgers null ist.

c)

Zeigen Sie, dass die Querschnittsfläche der Kohle auf dem Förderband einen Inhalt von $40\ \mathrm{dm}^2$ hat.

Unter dem Massenstrom der Kohle an einer bestimmten Stelle versteht man die Masse der Kohle, die an dieser Stelle in einer bestimmten Zeit vorbeitransportiert wird.

d)

Berechnen Sie den Massenstrom der Kohle auf dem Förderband in Tonnen pro Sekunde, wenn das Band mit einer Geschwindigkeit von $6\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ läuft.

t/s

g)

Zeigen Sie rechnerisch, dass während des Anlaufens etwa $17{,}3\ \mathrm{t}$ Kohle in den Bunker fallen.

i)

Zeigen Sie rechnerisch ohne Verwendung einer Stammfunktion, dass während des Auslaufens etwa $4{,}3\ \mathrm{t}$ Kohle in den Bunker fallen. Erläutern Sie Ihr Vorgehen.

j)

Weisen Sie rechnerisch nach, dass vom Beginn des Anlaufens bis zum Abschalten des Antriebs etwa $31\ \mathrm{s}$ vergehen dürfen, damit der zunächst leere Bunker auch dann nicht überfüllt wird, wenn ihm während des Befüllens keine Kohle entnommen wird.

Der Antrieb des Förderbands soll nun zum Zeitpunkt $t_{\mathrm{Aus}}$ nicht abgeschaltet, sondern bis zum Stillstand allmählich verringert werden. Während des so geänderten Auslaufens kann die zeitliche Entwicklung des Massenstroms der Kohle auf dem Förderband im Modell durch eine quadratische Funktion $\dot{m}_{\mathrm{Aus}}^*$ mit

$$\dot{m}_{\mathrm{Aus}}^*(t) = -p \cdot (t - t_{\mathrm{Aus}})^2 + 3{,}6, \quad p \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \text{ und } t_{\mathrm{Aus}} \le t \le t_{\mathrm{Aus}} + \sqrt{\frac{3{,}6}{p}}$$

beschrieben werden.

k)

Bestimmen Sie den Wert von $p$ so, dass während des Auslaufens nach der Änderung Kohle der gleichen Masse wie bei sofortigem Abschalten des Antriebs in den Bunker fällt. Berechnen Sie die Zeitersparnis, die mit der Änderung verbunden ist.

s