Aufgabe 1 (1 - Integralrechnung) · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2021

Die Abbildung 1 zeigt modellhaft den Längsschnitt einer dreiteiligen Brücke aus Holz für eine Spielzeugeisenbahn. Die Züge können sowohl über die Brücke fahren als auch darunter hindurch.

Die obere Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f \colon x \mapsto \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$ beschrieben werden. Dabei werden die Endpunkte dieser Randlinie durch die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ dargestellt. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die x-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q \colon x \mapsto 0{,}8 - a \cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R}^+$ beschrieben werden.

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Für die Brücke gilt $a = 1{,}25$. Die drei Bauteile der Brücke werden aus massivem Holz hergestellt; $1\text{ dm}^3$ des Holzes hat eine Masse von $800\text{ Gramm}$. Die Brücke ist $0{,}4\text{ dm}$ breit. Ermitteln Sie die Masse des mittleren Bauteils.