Aufgabe 1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR) 2024

Thema: Integralrechnung: Flächen und Bestände · Aus der Prüfung GK · Teil B · Analysis (WTR) (2024)

Aufgabenstellung

1 Aufgabe

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der in R\mathbb{R} definierten Funktion ff mit f(x)=2⋅(x2−1)⋅ex.f(x)=2\cdot (x^2-1)\cdot e^x.

Für jeden Wert k∈R+k \in \mathbb{R}^+ wird die Funktion hkh_k mit hk(x)=k⋅(x2−1)⋅exh_k(x)=k\cdot (x^2-1)\cdot e^x und x∈Rx \in \mathbb{R} betrachtet. Damit entspricht die Funktion h2h_2 der Funktion ff, deren Graph in Abbildung 1 dargestellt ist.

c)

Begründen Sie mithilfe der Abbildung 1, dass es eine Zahl b>1b > 1 gibt, für die ∫−11f(x) dx+∫1bf(x) dx=0\int_{-1}^1 f(x)\,\mathrm{d}x + \int_1^b f(x)\,\mathrm{d}x = 0 gilt.

e)

Für jeden Wert von kk schließen der Graph von hkh_k und die x-Achse ein Flächenstück ein. Bestimmen Sie denjenigen Wert von kk, für den das Flächenstück den Inhalt 11 hat.

f)

Die Funktion h2h_2 besitzt zwei Stammfunktionen, deren Graphen jeweils in einem Punkt die x-Achse als Tangente haben. Ermitteln Sie jeweils einen Term dieser Stammfunktionen.

Aufgabenstellung: Aufgabe 1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR) 2024

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

c) Begründen Sie mithilfe der Abbildung 1, dass es eine Zahl b > 1 gibt, für die das Integral von -1 bis 1 plus das Integral von 1 bis b gleich 0 ist.

Lösung: Die Funktionswerte von ff sind für −1<x<1-1 < x < 1 negativ und für x>1x > 1 positiv. Daher ist ∫−11f(x) dx<0\int_{-1}^1 f(x)\,\mathrm{d}x < 0 und ∫1bf(x) dx>0\int_1^b f(x)\,\mathrm{d}x > 0. Für x>1x > 1 ist ff streng monoton zunehmend. Also gibt es ein bb, sodass ∫1bf(x) dx=−∫−11f(x) dx\int_1^b f(x)\,\mathrm{d}x = -\int_{-1}^1 f(x)\,\mathrm{d}x.

e) Bestimmen Sie denjenigen Wert von k, für den das Flächenstück den Inhalt 1 hat.

Lösung: k=e4k = \frac{e}{4}

f) Ermitteln Sie jeweils einen Term dieser Stammfunktionen (erste Stammfunktion).

Lösung: H2,1(x)=2⋅(x2−2x+1)⋅exH_{2,1}(x) = 2\cdot(x^2 - 2x + 1)\cdot e^x

f) Ermitteln Sie jeweils einen Term dieser Stammfunktionen (zweite Stammfunktion).

Lösung: H2,2(x)=2⋅(x2−2x+1)⋅ex−8eH_{2,2}(x) = 2\cdot(x^2 - 2x + 1)\cdot e^x - \frac{8}{e}

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