Aufgabe WTR 1 - Aufgabe 2: Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR) 2019

e) Begründen Sie ohne zu rechnen, dass $\int_5^{15} k(x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \cdot (15 - 5) \cdot k(15)$ gilt.

Lösung: Aufgrund der Symmetrie des Graphen von k bezüglich des Punkts W haben die beiden Flächenstücke, die der Graph von k mit dem Graphen von g einschließt, den gleichen Inhalt. Folglich stimmt der Inhalt der Fläche, die der Graph von k mit der x-Achse und der Gerade mit der Gleichung x = 15 einschließt, mit dem Inhalt der Fläche überein, die der Graph von g mit der x-Achse und der Gerade mit der Gleichung x = 15 einschließt. Diese Fläche hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten die Längen (15 − 5) und k(15) haben.

f) Begründen Sie mithilfe der Abbildung 1, dass es eine reelle Zahl z mit 4 < z < 5 gibt, für die $\int_z^{z+1} k(x)\,\mathrm{d}x = 0$ gilt.

Lösung: Die Funktionswerte von k sind für x < 5 negativ und für x > 5 positiv. Damit ist der Wert des Integrals für z = 4 negativ und für z = 5 positiv. Für 4 ≤ z ≤ 5 nimmt der Wert des Integrals mit zunehmendem Wert von z kontinuierlich zu.