Aufgabe B5 (g) - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

In der Abbildung ist modellhaft der Längsschnitt einer aus drei Teilen bestehenden Holzbrücke für eine Spielzeugeisenbahn dargestellt. Die Züge haben die Möglichkeit, über die Brücke zu fahren oder unter ihr hindurchzufahren.

Den oberen Rand des Brückenlängsschnitts beschreibt der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$.

Die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ stellen dabei die Endpunkte dieser Randlinie dar. Im zugrunde gelegten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; in der Realität entspricht eine Längeneinheit einem Dezimeter.

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q_a$ mit $q_a(x) = 0{,}8 - a \cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R}, a > 0$ beschrieben werden.

Bei der Brücke wird $a = 1{,}25$ gesetzt. Alle drei Bauteile bestehen aus massivem Holz, wobei ein Volumen von $1\text{ dm}^3$ dieses Holzes eine Masse von $800\text{ Gramm}$ besitzt. Die Breite der Brücke beträgt $0{,}4\text{ dm}$.

g)

Bestimmen Sie die Nullstellen von $q_{1{,}25}$ und ermitteln Sie anschließend, welche Masse das mittlere Bauteil hat. (5 Punkte)