Aufgabe MMS 2 - 2: Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2024

Für ein Umweltschutzprojekt sollen zwei Unterwasserdrohnen U1 und U2 in einem See Messungen in unterschiedlichen Tiefen vornehmen. Sie bewegen sich nur in vertikaler Richtung, d. h. senkrecht zur Wasseroberfläche des Sees. Ihre Geschwindigkeiten lassen sich für $0 \le t \le 30$ mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $v$ bzw. $w$ beschreiben, wobei gilt:

$$v(t) = -\frac{6}{25}t \cdot (4t - 25) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{5}t}$$$$w(t) = \frac{1}{216}t^3 - \frac{1}{6}t^2 + t$$

Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten, $v(t)$ die Geschwindigkeit von U1 in Meter pro Minute und $w(t)$ die Geschwindigkeit von U2 in Meter pro Minute. Wenn die Geschwindigkeit in diesem Modell negativ ist, sinkt die Unterwasserdrohne. Wenn die Geschwindigkeit positiv ist, steigt die Unterwasserdrohne.

c

Im Beobachtungszeitraum beträgt der geringste Abstand von U1 zur Wasseroberfläche des Sees 10 Meter. Ermitteln Sie den Abstand von U1 zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn.

d

U2 ist zu Beobachtungsbeginn 5 Meter tiefer als U1 und steigt langsamer als U1. Der Graph in Abbildung 2 zeigt für die ersten Minuten des Beobachtungszeitraums die zeitliche Entwicklung des vertikalen Abstands der beiden Unterwasserdrohnen zueinander. Im dargestellten Bereich hat der Graph nur einen Hochpunkt $H(t_H \mid y_H)$.

Erläutern Sie, wie man $t_H$ anhand der Graphen von $v$ und $w$ ermitteln kann, und geben Sie einen Term zur Berechnung von $y_H$ an.