Aufgabe CAS 2 · 1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2020

Im Oktober des Jahres 2000 wurden auf einer Waldfläche Fichten gepflanzt. Alle Fichten hatten zum Zeitpunkt der Pflanzung eine Höhe von $50\text{ cm}$.

Betrachtet wird die Rate des Höhenwachstums der Fichten in Abhängigkeit von der Zeit. Diese Wachstumsrate wird für $t \ge 0$ modellhaft durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w$ mit $$w(t) = 60 \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{3000}(t-40)^2}$$ beschrieben. Dabei ist $t$ die seit der Pflanzung vergangene Zeit in Jahren und $w(t)$ die Wachstumsrate in Zentimeter pro Jahr $\left(\frac{\text{cm}}{\text{a}}\right)$. Die Abbildung zeigt den Graphen von $w$ für $t \ge 0$.

d)

Geben Sie die Bedeutung des Terms $\frac{1}{100} \cdot \left( 50 + \int_{0}^{60} w(t)\,\mathrm{d}t \right)$ im Sachzusammenhang an und begründen Sie Ihre Angabe. Skizzieren Sie die Höhe der Fichten in Abhängigkeit von der Zeit beginnend mit dem Zeitpunkt der Pflanzung bis zum Jahr 2180.