Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2021

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ ist durch folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x) = -4x \cdot e^{-2x} + 0{,}4 \text{ mit } x \in \mathbb{R}.$$

Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 zu sehen.

Im weiteren Verlauf können Sie ohne Nachweis folgende Aussage verwenden:

Die erste Ableitung von $f$ lautet: $f'(x) = -4e^{-2x} \cdot (1 - 2x)$.

b)

(1)

Zeigen Sie, dass $F$ mit der Gleichung $$F(x) = 2x\cdot e^{-2x} + e^{-2x} + 0,4x$$ eine Stammfunktion von $f$ darstellt.

(2)

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Bereichs, den der Graph von $f$ und die $x$-Achse miteinander einschließen.

(3)

Betrachtet wird die Gleichung $$\int_{0}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = 0.$$ Ihre beiden Lösungen $b_1$ und $b_2$ sind in Abbildung 2a bzw. Abbildung 2b veranschaulicht.

Erläutern Sie anhand der beiden Abbildungen, warum $b_1$ und $b_2$ die genannte Gleichung lösen.

c)

(2)

Zwischen dem Graphen von $f$ und der Tangente $g$ liegt eine eingeschlossene Fläche.

(i)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieser Fläche.

(ii)

Bestimmen Sie den prozentualen Anteil dieser Fläche, der oberhalb der $x$-Achse liegt.

%