Aufgabe 3 - 1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2020

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k: x \mapsto \mathrm{e}^{kx} - x - 1$ mit $k \in \mathbb{R}$. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

Betrachtet wird zunächst die Funktion $f_{10}$ mit $f_{10}(x) = \mathrm{e}^{10x} - x - 1$.

c)

Berechnen Sie den Wert des Terms $\int_{-1}^0 f_{10}(x)\,\mathrm{d}x$.

d)

Betrachtet wird der Inhalt der Fläche, die $G_{10}$ mit der x-Achse und der Gerade mit der Gleichung $x = -1$ einschließt. Begründen Sie, dass dieser Inhalt geringfügig größer ist als der Wert des Terms $\left|\int_{-1}^0 f_{10}(x)\,\mathrm{d}x\right|$, ohne den Inhalt zu berechnen.