Aufgabe MMS 1 - Aufgabe 1 - Integralrechnung: Flächen und… · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2025

Um Regenwasser zu speichern, wird es kontrolliert in ein unterirdisches Auffangbecken geleitet, das ein Fassungsvermögen von $800\text{ m}^3$ hat. Für ein bestimmtes Regenereignis wird das Volumen des Regenwassers im Auffangbecken für $0 \le x \le 5$ modellhaft durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $v$ mit $$v(x) = -\frac{5}{2}x^4 + \frac{50}{3}x^3 + 190$$ beschrieben. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und $v(x)$ das Wasservolumen in Kubikmetern.

Betrachtet wird außerdem die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $r$ mit $$r(x) = 10x^2 \cdot (5 - x).$$

a)

Begründen Sie, dass zu Beobachtungsbeginn das Wasservolumen im Auffangbecken $190\,\mathrm{m^3}$ beträgt, und berechnen Sie das Volumen des Wassers, das in den ersten $1{,}5\,\mathrm{h}$ nach Beobachtungsbeginn in das Auffangbecken fließt.

d)

Es wird geplant, zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn eine Pumpe einzuschalten, die Wasser aus dem Auffangbecken mit einer konstanten Rate von $100\,\frac{\mathrm{m^3}}{\mathrm{h}}$ abpumpt. Die momentane Zuflussrate des Regenwassers in das Auffangbecken wird dabei weiterhin durch $r$ beschrieben.

Eine Lösung $t$ der folgenden Gleichung hat im Sachzusammenhang eine Bedeutung:

$$190 + \int_{0}^{2} r(x)\,\mathrm{d}x + \int_{2}^{t} (r(x) - 100)\,\mathrm{d}x = 400$$

Geben Sie diese Bedeutung von $t$ an und erläutern Sie den Aufbau der Gleichung in Bezug auf diese Bedeutung.