Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung: Sachzusammenhang Hormonkonzentration

Hormone steuern unterschiedliche Vorgänge im Körper. Bei manchen Hormonen schwankt die Konzentration im Blut mit der Zeit. Betrachtet wird nun ein Hormon, dessen Blutkonzentration sowohl vom Alter als auch von der Tageszeit abhängt. Der größte Wert der Hormonkonzentration im Blut innerhalb eines Tages heißt im Folgenden Tageshöchstkonzentration.

Zuerst wird untersucht, wie die Tageshöchstkonzentration dieses Hormons vom Alter abhängt. Dafür dient im Bereich $0 \le x \le 70$ als Modell die Funktion $f$ mit

$$f(x) = (58x^2 + 10000x + 208)\cdot e^{-0,1x-5,7} + 7, \quad x \in \mathbb{R},$$

genutzt. Hierbei steht $x$ für das Alter in Jahren und $f(x)$ für die Tageshöchstkonzentration in Picogramm pro Milliliter (pg/ml). Der Wert $x = 0$ gehört zur Geburt. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Im Lauf eines Tages schwankt die Hormonkonzentration im Blut stark. Die Änderungsrate der Hormonkonzentration zwischen 22:00 Uhr abends und 6:00 Uhr morgens wird im Folgenden für $0 \le t \le 8$ durch Funktionen $h_a$ mit

$$h_a(t) = -10a\cdot(t-4)\cdot e^{-(0,5t-2)^2}, \quad t \in \mathbb{R}, a \in \mathbb{R}, a \ge 1$$

modelliert. Dabei ist $t$ die Uhrzeit in Stunden und $h_a(t)$ die Änderungsrate der Hormonkonzentration im Blut in Picogramm pro Milliliter pro Stunde. $t = 0$ bedeutet 22:00 Uhr. Der Parameter $a$ hängt vom Alter ab. In Abbildung 2 sind die Graphen von $h_a$ für $a = 1$, $a = 2$ und $a = 4$ zu sehen.

Ohne Beweis darf benutzt werden: $h_a'(t) = -10a\cdot(-0,5t^2 + 4t - 7)\cdot e^{-(0,5t-2)^2}$.

Teilaufgabe a (6)

Die mittlere Tageshöchstkonzentration im Intervall $[a; b]$ lässt sich mit $\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$ berechnen.

Bestimmen Sie die mittlere Tageshöchstkonzentration für das Alter von 5 bis 15 Jahren. Ermitteln Sie, wie viel Prozent dieser Wert vom maximalen Wert der Tageshöchstkonzentration abweicht.

a) (6)

%

Teilaufgabe b (4)

Bestimmen Sie $a$ so, dass die Hormonkonzentration in den ersten drei Stunden um $30{,}42\text{ pg/ml}$ ansteigt.

b) (4)

Teilaufgabe c

Nun werden Funktionen $H_{2;C}$ mit $H_{2;C}(t) = 40 \cdot e^{-(0{,}5t-2)^2} + C$, $C \in \mathbb{R}$, untersucht. Diese Funktionen $H_{2;C}$ sind Stammfunktionen zur Funktion $h_2$.

c) (1)

Weisen Sie nach, dass in diesem Modell für jedes $C$ die Hormonkonzentration am Ende des Beobachtungszeitraums ($t = 8$) mit der zu Beginn ($t = 0$) übereinstimmt.

c) (2)

Bestimmen Sie $C$ (auf zwei Nachkommastellen gerundet) so, dass die durch $H_{2;C}$ beschriebene Hormonkonzentration zum Zeitpunkt $t = 6$ den Wert $44{,}7\text{ pg/ml}$ hat. [Kontrolllösung: $C \approx 30$]

c) (3)

Die Tageshöchstkonzentration tritt im Beobachtungszeitraum von 22:00 Uhr abends bis 6:00 Uhr morgens auf ($0 \le t \le 8$).