Aufgabe 1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2019

Im Rahmen eines Unterrichtsprojekts wurden unterschiedliche Kugelbahnkörper gefertigt und hinsichtlich ihrer Eigenschaften untersucht. Zwei dieser Bahnkörper sind in Abbildung 1 schematisch dargestellt.

Im Längsschnitt jeder der Bahnen F und G

kann die Profillinie der Bahn modellhaft mithilfe einer Funktion beschrieben werden;

wird der Startpunkt, von dem aus die Kugel die Bahn durchläuft, durch den Punkt $S(0|2)$ dargestellt, der Endpunkt durch den Punkt $E\left(2\middle|\frac{1}{2}\right)$.

Der horizontale Untergrund, auf dem die beiden Bahnkörper stehen, wird jeweils durch die x-Achse beschrieben; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Die Beschreibung der Profillinie der Bahn F erfolgt mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f\colon x \mapsto \frac{3}{11}x^3 - \frac{81}{44}x + 2$.

Die Bahn G verläuft gerade. Die Beschreibung ihrer Profillinie erfolgt mithilfe einer Funktion $g$.

Die Körper der Bahnen F und G wurden von einem einzigen massiven Kunststoffquader mit den Seitenlängen $200\text{ cm}$, $250\text{ cm}$ und $10\text{ cm}$ abgeschnitten (vgl. Abbildung 2).

Für jede der Bahnen F und G wurde in bestimmten horizontalen Entfernungen vom Startpunkt jeweils die Geschwindigkeit der Kugel gemessen. Die Messwerte können der Tabelle entnommen werden:

Die Profillinie einer weiteren Bahn H kann durch die Funktion $h\colon x \mapsto 2 - \sqrt{\frac{25}{8}x - x^2}$ mit $x \in [0; 2]$ beschrieben werden. Abbildung 3 zeigt den Graphen von $h$ sowie den Punkt $M\left(\frac{25}{16}\middle|2\right)$.

Die Körper der Bahnen F und G wurden von einem einzigen massiven Kunststoffquader mit den Seitenlängen $200\text{ cm}$, $250\text{ cm}$ und $10\text{ cm}$ abgeschnitten (vgl. Abbildung 2).

g) Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells den prozentualen Anteil desjenigen Teils des Kunststoffquaders, der nach dem Abschneiden der beiden Bahnkörper übrig bleibt.

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