Aufgabe 1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2018

1 Aufgabe

Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades mit Definitionsmenge $\mathbb{R}$. $G_f$ schneidet die x-Achse bei $x = 0$, $x = 5$ und $x = 10$ und verläuft durch den Punkt $(1|2)$.

Im Folgenden wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $F_1$ mit $F_1(x) = \int_1^x f(t)\,\mathrm{d}t$ betrachtet.

d)

$F_1$ hat für $0 \le x \le 10$ zwei ganzzahlige Nullstellen. Geben Sie diese an und begründen Sie Ihre Angabe. [3 BE]

Erste Nullstelle $x_1 =$ Zweite Nullstelle $x_2 =$

e)

Begründen Sie mithilfe von Abbildung 1, dass $F_1$ mindestens eine weitere positive Nullstelle hat. [2 BE]

f)

Begründen Sie, dass $F_1$ höchstens vier Nullstellen hat. [2 BE]

Für $0 \le x \le 5$ gilt, dass der Graph von $f$ und der Graph einer trigonometrischen Funktion $h$ die gleichen Schnittpunkte mit der $x$-Achse besitzen;

beide nicht unterhalb der $x$-Achse verlaufen;

jeweils mit der $x$-Achse eine Fläche des Inhalts $\frac{625}{72}$ einschließen.

g)

Bestimmen Sie einen Term einer solchen Funktion $h$. [6 BE]

h)

Begründen Sie, dass die Graphen von $f$ und $h$ für $0 < x < 5$ mindestens einen gemeinsamen Punkt haben. [3 BE]