Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung

f(x)=10\cdot(x-1)\cdot e^{-x}\, \ x \in \mathbb{R}\.

Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

Gegeben ist die Funktion $t$ mit $t(x)=-10\cdot e^{-3}\cdot x+50\cdot e^{-3}\, \ x \in \mathbb{R}$, und der Wendepunkt $W(3\mid f(3))$ des Graphen von $f$.

Im Intervall $[1;5]$ begrenzen der Graph von $f$ und die in b) (1) gegebene Tangente zusammen mit der $x$-Achse eine Fläche $F$ (siehe Abbildung 2).

Die Gerade $g$ ist die Parallele zur $x$-Achse durch den Hochpunkt $H(2\mid f(2))$ des Graphen von $f$. Die $y$-Achse, $g$ und der Graph von $f$ schließen eine Fläche ein (siehe grau gefärbte Fläche in Abbildung 3).

$Q_u(u\mid f(u))$, $0 < u < 2$, ist ein Punkt auf dem Graphen von $f$. Die Parallelen durch $Q_u$ zu den beiden Koordinatenachsen werden mit $p_x$ und $p_y$ bezeichnet. Die $y$-Achse, $g$, $p_x$ und $p_y$ begrenzen ein Rechteck (siehe schraffierte Fläche in Abbildung 3).

Die Funktion $f$ gehört zur Schar $h_a$, die gegeben ist durch

h_a(x)=10\cdot(x-a)\cdot e^{-x}\, \ x \in \mathbb{R}\, \ a \in \mathbb{R}\.

Der Graph von $h_a$ besitzt genau einen Wendepunkt $W_a$.