Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Für jede reelle Zahl $k > 0$ ist durch die Gleichung

$$f_k(x)=\frac{1}{k}\cdot x^3 - 6\cdot x^2 + 9\cdot k\cdot x, \quad x \in \mathbb{R},$$

eine Funktion $f_k$ festgelegt.

Teilaufgabe b

Abbildung 2 zeigt ein Verfahren, mit dem sich ein Näherungswert für das Integral $\int_0^3 f_1(x)\,\mathrm{d}x$ bestimmen lässt.

Auf drei Nachkommastellen gerundet haben die schraffierten Flächen folgende Inhalte:

$A_1 \approx 0{,}781\text{ FE}$,

$A_2 \approx 1{,}781\text{ FE}$,

$A_4 \approx 1{,}344\text{ FE}$,

$A_5 \approx 0{,}656\text{ FE}$,

$A_6 \approx 0{,}156\text{ FE}$.

(1)

Zeigen Sie: $A_3 \approx 1{,}844\text{ FE}$.

(2)

Ermitteln Sie, wie viel Prozent der exakte Wert des Integrals $\int_0^3 f_1(x)\,\mathrm{d}x$ und der mit dem gezeigten Verfahren erhaltene Näherungswert voneinander abweichen, bezogen auf den exakten Wert.

%

Teilaufgabe c

Zu jeder reellen Zahl $k > 0$ gehört eine quadratische Funktion $p_k$ mit diesen Eigenschaften: Die Funktionen $p_k$ und $f_k$ haben jeweils dieselben Nullstellen.

Der Scheitelpunkt des Graphen von $p_k$ ist ein Punkt des Graphen von $f_k$.

[Zur Kontrolle: $p_k(x) = -\frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}kx$.]

(2)

Für alle reellen $k > 0$ gilt: Die Fläche zwischen dem Graphen von $f_k$ und der $x$-Achse im Bereich der Nullstellen $x = 0$ und $x = 3k$ hat den Inhalt $\frac{27}{4}k^3\text{ FE}$.

Zeigen Sie rechnerisch, dass die vom Graphen von $p_k$ und der $x$-Achse zwischen den Nullstellen $x = 0$ und $x = 3k$ begrenzte Fläche denselben Inhalt hat.

(3)

Abbildung 3 zeigt die Graphen von $f_1$ und $p_1$.

(i) Bestimmen Sie den Inhalt $A_{\text{links}}$ der linken schraffierten Fläche.

(ii) Begründen Sie ohne zusätzliche Rechnung, welchen Inhalt $A_{\text{rechts}}$ die rechte schraffierte Fläche hat.