Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil A · Analysis 2020

a Zeigen Sie, dass die in ℝ definierte Funktion F mit F(x) = 1/2 · (x-2)⁴ + 3 eine Stammfunktion von f₂ ist.

Lösung: $F'(x) = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (x-2)^3 = 2 \cdot (x-2)^3 = f_2(x)$

Werte von a (aus Teilaufgabe b)

Lösung: $a < 0$

b Untersuchen Sie mithilfe von Skizzen, für welche Werte von a sich unter den Stammfunktionen von f_a solche befinden, die nur negative Funktionswerte haben.

Lösung: Die Terme aller Stammfunktionen von $f_a$ lassen sich durch $F_{a,b}(x) = \frac{a}{4} \cdot (x-2)^4 + b$ mit $b \in \mathbb{R}$ darstellen. Für $a > 0$ hat $F_{a,b}$ stets Funktionswerte, die nicht negativ sind (vgl. Graph I). Für $a < 0$ gibt es stets Werte von $b$, sodass $F_{a,b}$ nur negative Funktionswerte hat (vgl. Graph II).