Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR 2021

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus zehntausenden Arbeiterinnen, mehreren hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Allein die Königin legt Eier, aus denen neue Bienen hervorgehen.

Ein bestimmtes Bienenvolk wurde im Jahr 2019 über den Jahresverlauf genau beobachtet, anschließend wurde dessen Entwicklung modelliert. Weil fast alle Eier zu Arbeiterinnen werden, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend heißen die Arbeiterinnen „Bienen".

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Die Zunahme der Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen wird für $0 \leq t \leq 232$ durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Dabei entspricht $t = 0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t = 1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t = 232$.

$f(t)$ gibt die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ an, und zwar in „Bienen pro Tag". Bienen, die sterben, bleiben zunächst außer Betracht.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$.

In der gesamten Aufgabe müssen keine Datumsangaben umgerechnet werden!

a) (4)

Der Wert des Integrals $\int_{9}^{10} f(t)\,\mathrm{d}t$ entspricht der Zahl der Bienen, die am 13. März schlüpfen. [Eine Begründung ist nicht erforderlich.] Ermitteln Sie diese Zahl rechnerisch.

Bienen

a) (5)

Bestimmen Sie, wie viele Bienen im Mittel pro Tag schlüpfen, und zwar vom Beginn des 4. März ($t = 0$) bis zum Ende des 21. Oktober ($t = 232$).

Bienen pro Tag

b) (2)

Die Gleichung $\int_{t}^{t+21} f(x)\,\mathrm{d}x = 30\,000$ hat im Beobachtungszeitraum die Lösungen $t_1 \approx 47$ und $t_2 \approx 104$. Für $47 \le t \le 104$ gilt zusätzlich $\int_{t}^{t+21} f(x)\,\mathrm{d}x \ge 30\,000$.

Erläutern Sie, was das Integral im Sachzusammenhang bedeutet, und interpretieren Sie die angegebenen Informationen im Kontext der Teilaufgabe b).

c) (3)

Die Sterberate (in der Einheit „Bienen pro Tag“) der Sommerbienen wird für $35 \le t \le 216$ mit der Funktion $g$ mit $$g(t) = \frac{1}{800\,000}t^4 - \frac{1}{30\,000}t^3 - \frac{5}{18}t^2 + 59{,}25\,t - 1733, \quad t \in \mathbb{R},$$ modelliert.

Bis zum Ende des 7. April ($t = 35$) sind schon 240 Bienen gestorben.

Zeigen Sie, dass am Ende des 5. Oktober ($t = 216$) nicht sämtliche Bienen tot sind, die vor dem 1. September (also bis $t = 181$) geschlüpft sind.