Aufgabe MMS 2 - 1: Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2024

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $f_a(x) = \frac{1}{a^3}x^3 - \frac{1}{a}x^2 + x$ und $a \in \mathbb{R}^+$.

f

Im Folgenden gilt $0 < a < 4$.

Abbildung 1 zeigt beispielhaft den Graphen einer Funktion $f_a$ sowie die Gerade $g$ mit der Gleichung $y = x$, die den Graphen in den Punkten $O(0|0)$ und $P(u_a|f_a(u_a))$ schneidet. Die Gerade $g$, die x-Achse und die Gerade mit der Gleichung $x = u_a$ begrenzen ein rechtwinkliges Dreieck.

Die folgenden Schritte stellen die Lösung einer Aufgabe dar:

$\bullet\; f_a(x) = x \iff x = 0 \lor x = a^2$

$\bullet\; \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot f_a(a^2) = 3 \cdot \int_0^{a^2} (x - f_a(x))\,dx \iff a = 2$

Erläutern Sie diese Schritte und interpretieren Sie die Lösung $a = 2$ geometrisch.