Aufgabe 1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2020

d Berechnen Sie den Wert des Terms F(3) - F(0)

Lösung: $\frac{1}{10}(e^3 + 5) \approx 2{,}5$

und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.

Lösung: Der Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von $f$ für $0 \le x \le 3$ mit der x-Achse einschließt, beträgt etwa $2{,}5$.

e Begründen Sie ohne zu rechnen, dass es eine positive Zahl a gibt, für die das Integral von 0 bis a über f(x)dx = 0 gilt.

Lösung: Für $x > 3$ ist $f(x) < 0$ und $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$. Das unterhalb der x-Achse liegende Flächenstück wächst unbegrenzt, sodass es einen Wert $a > 3$ gibt, bei dem der Flächeninhalt unterhalb der x-Achse genauso groß ist wie der oberhalb.

f Begründen Sie ohne Integration, dass der Graph jeder Stammfunktion von f einen Tiefpunkt hat, der auf der y-Achse liegt.

Lösung: Die Ableitung jeder Stammfunktion ist $H'(x) = f(x)$. Es gilt $f(0) = 0$, $f(x) < 0$ für $x < 0$ und $f(x) > 0$ für $x > 0$ (VZW von $-$ nach $+$).

g Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion von f, deren Graph einen Tiefpunkt im Koordinatenursprung hat.

Lösung: $H(x) = -\frac{1}{10}(x^2 - 5x + 5)e^x + \frac{1}{2}$