Aufgabe 1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS)

BMX-Fahrräder sind speziell für das Gelände ausgelegte Sportgeräte. Für den professionellen Einsatz dieser Fahrräder wird auf horizontalem Untergrund eine $3\text{ m}$ breite Sprungschanze installiert. Im Längsschnitt der Schanze kann deren Profillinie für $x \in [-8; 0]$ modellhaft durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = -\frac{5}{256}x^3 + \frac{3}{4}x + 2$ beschrieben werden. Abbildung 1 zeigt den zugehörigen Teil des Graphen von $f$.

Der Startpunkt, von dem aus die Schanze durchfahren wird, wird durch den Punkt $S(-8 \mid f(-8))$ dargestellt, der Absprungpunkt durch $A(0 \mid f(0))$. Der Untergrund wird im Längsschnitt durch die x-Achse beschrieben; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

Abbildung 2 zeigt grau markiert eine Seite der Schanze, die vollständig mit einer ebenen Verkleidung versehen ist. Die beiden seitlichen Kanten der Verkleidung stehen senkrecht zum Untergrund, der obere Rand der Verkleidung hat die Form der Profillinie.

An die Schanze soll sich ein für die Landung geeigneter Hügel aus Erde anschließen. Mögliche Profillinien dieses Hügels werden im Modell für $x \ge 0$ durch Graphen der Funktionen $g_a$ mit $g_a(x) = x \cdot e^{-a \cdot x^2}$ und $a \in \mathbb{R}^+$ beschrieben.

Derjenige Teil der Verkleidung, der mindestens zwei Meter über dem Untergrund liegt, dient einer Firma als Werbefläche. Bestimmen Sie den Anteil dieser Werbefläche an der Gesamtfläche der Verkleidung.