Aufgabe 1 (WTR 3) - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2026

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = 5\cdot \mathrm{e}^{-\frac{3}{5}x} - 5$. Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ von $f$.

Die Umkehrfunktion von $f$ wird mit $g$ bezeichnet. Abbildung 2 zeigt die Graphen von $f$ und $g$.

Eine der Tangenten an $G_f$ hat die Steigung $-1$. Diese Tangente wird mit $t$ bezeichnet; $t$ berührt $G_f$ im Punkt $Q(x_Q \mid f(x_Q))$.

b

Durch $F(x) = -\frac{25}{3} \cdot e^{-\frac{3}{5}x} - 5x$ ist ein Term einer Stammfunktion von $f$ gegeben. Berechnen Sie den Wert des Integrals $\int_0^{\frac{5}{3}} f(x) \, dx$.

c

Begründen Sie, dass die folgende Aussage wahr ist, ohne einen Term einer Stammfunktion von $f$ zu verwenden: Es gibt genau eine reelle Zahl $k$ mit $k > 0$, die Lösung der Gleichung $\int_{-1}^0 f(x) \, dx = -\int_0^k f(x) \, dx$ ist.

d

Nachfolgend sind die wesentlichen Schritte eines Lösungswegs zu einer Aufgabe im Zusammenhang mit der Funktion $f$ dargestellt. Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an. $$V_1 = \pi \cdot \int_0^4 (f(x))^2 \, dx \approx 141{,}02$$$$V_2 = \pi \cdot (f(4))^2 \cdot 4 \approx 259{,}74$$$$\frac{V_1}{V_2} \approx 0{,}54 \text{, der gesuchte Anteil beträgt somit etwa } 54\,\%.$$