Aufgabe MMS 1 - 2: Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2024

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = (1-x^2) \cdot \mathrm{e}^x$. Der Graph von $h$ wird mit $H$ bezeichnet.

Gegeben ist die in $]{-\infty}; -1]$ definierte Funktion $k$ mit $k(x) = \int_x^{-1} h(t)\,\mathrm{d}t$. Ihr Graph wird mit $K$ bezeichnet. Abbildung 1 zeigt $H$ und $K$. Für $x \to -\infty$ kommt $K$ der Gerade mit der Gleichung $y = -\frac{4}{\mathrm{e}}$ beliebig nahe.

Die Funktion $h$ gehört zur Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_a$ mit $h_a(x) = \frac{1}{a} \cdot (a-x^2) \cdot \mathrm{e}^x$ und $a \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $h_a$ wird mit $H_a$ bezeichnet.

b

Es gibt eine Zahl $b > 1$, sodass die Fläche, die $H$, die x-Achse und die Gerade mit der Gleichung $x = b$ im vierten Quadranten einschließen, den gleichen Inhalt hat wie die Fläche, die $H$ mit der x-Achse im ersten und zweiten Quadranten einschließt. Bestimmen Sie $b$.

c

Gegeben ist die in $]-\infty; -1]$ definierte Funktion $k$ mit $k(x) = \int_{x}^{-1} h(t)\,\mathrm{d}t$. Ihr Graph wird mit $K$ bezeichnet. Abbildung 1 zeigt $H$ und $K$. Für $x \to -\infty$ kommt $K$ der Gerade mit der Gleichung $y = -\frac{4}{\mathrm{e}}$ beliebig nahe.

Begründen Sie mithilfe des Funktionsterms, dass $k$ die Nullstelle $-1$ besitzt und dass $K$ im Bereich $x < -1$ unterhalb der x-Achse verläuft. Deuten Sie damit unter Verwendung von Abbildung 1 den Wert $-\frac{4}{\mathrm{e}}$ in Bezug auf $H$ geometrisch.