Aufgabe (MMS 2) - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2026

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{3}{16} \cdot (x^3 + 2x^2 - 4x - 8)$. Der Graph von $f$ wird mit $G$ bezeichnet.

Betrachtet wird ein $3\text{ m}$ langes, geradliniges Stück einer Dachrinne aus Blech. Das Blech ist $0{,}7\text{ mm}$ dick, was in der Abbildung im dargestellten Querschnitt veranschaulicht wird. Die dargestellte Profillinie der Innenseite der Dachrinne kann im verwendeten Koordinatensystem für $-2 \le x \le 2$ durch $G$ beschrieben werden. Dabei entspricht eine Längeneinheit $5\text{ cm}$ in der Realität.

f

Die folgenden Rechenschritte stellen einen Lösungsweg für eine Aufgabe im Sachzusammenhang dar:

$\,\bullet\; f(x) = -1 \iff x = x_1 \lor x = x_2 \lor x = x_3 \text{ mit } x_1 \approx -3{,}03,\; x_2 \approx -0{,}56 \text{ und } x_3 \approx 1{,}59$

$\,\bullet\; \int_{x_2}^{x_3} (-1 - f(x))\,dx \approx 1{,}09$

$\,\bullet\; 1{,}09 \cdot 5^2 \cdot 300 = 8175$

$\,\bullet\; \text{also etwa } 8175\text{ cm}^3$

Geben Sie eine dazu passende Aufgabenstellung an und erläutern Sie den dargestellten Lösungsweg. [5 BE]

g

Nun wird ein Stück einer zweiten Dachrinne betrachtet. Im Vergleich zum bisher betrachteten Stück ist es ebenfalls geradlinig, hat die gleiche Länge und besteht aus einem Blech gleicher Dicke. Auch das Volumen des Wassers, das beide Stücke maximal fassen können, ist gleich. Die Profillinie der Innenseite der zweiten Dachrinne hat die Form eines Halbkreises. Ein Kubikzentimeter des verwendeten Materials hat eine Masse von $8{,}96\text{ Gramm}$. Bestimmen Sie für die zweite Dachrinne die Masse des betrachteten Stücks. [6 BE]