Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2021

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Schar der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit der Gleichung

$$f_a(x) = 2ax \cdot e^{a \cdot x} + 1 \quad \text{mit } a \in \mathbb{R},\ a \neq 0\text{.}$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}5$ und für $a = -1$.

Teilaufgabe c

c) (1)

Zeigen Sie, dass die Funktion $F_{-2}$ mit der Gleichung

$$F_{-2}(x) = 2x\cdot e^{-2x} + e^{-2x} + x$$

eine Stammfunktion von $f_{-2}$ darstellt.

c) (2)

Im Intervall $[0;1]$ schneidet der Graph von $f_{-2}$ die $x$-Achse nicht.

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Bereichs, der im Intervall $[0;1]$ vom Graphen von $f_{-2}$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird.

Teilaufgabe d (4)

In Abbildung 2 sind der Graph von $f_{-2}$ sowie die Wendetangente $t_{-2}$ dargestellt.

Die Graphen von $f_{-2}$ und $t_{-2}$ haben ausschließlich den Wendepunkt gemeinsam.

d) (4)

Betrachtet wird die Gleichung

$$\int_{z}^{z+2} \big(f_{-2}(x) - t_{-2}(x)\big)\,\mathrm{d}x = 0.$$

Begründen Sie mithilfe von Abbildung 2 und ohne zusätzliche Rechnung, dass genau ein Wert von $z$ diese Gleichung erfüllt.