Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2021

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Für die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktionenschar $f_a$ gilt die Gleichung

$$f_a(x) = 2ax \cdot e^{ax} + 1 \text{ mit } a \in \mathbb{R},\ a \neq 0.$$ Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}5$ sowie für $a = -1$.

c) (1)

Zeigen Sie, dass die Funktion $F_{-2}$ mit der Funktionsgleichung

$$F_{-2}(x) = 2x\cdot e^{-2x} + e^{-2x} + x$$

eine Stammfunktion von $f_{-2}$ darstellt.

c) (2)

Im Intervall $[0; 1]$ schneidet der Graph der Funktion $f_{-2}$ die $x$-Achse nicht.

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Bereichs, der im Intervall $[0; 1]$ vom Graphen von $f_{-2}$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird.

FE

d) (4)

In Abbildung 2 sind der Graph von $f_{-2}$ sowie die Wendetangente $t_{-2}$ dargestellt. Die Graphen von $f_{-2}$ und $t_{-2}$ haben nur den Wendepunkt gemeinsam.

Betrachtet wird die Gleichung

$$\int_{z}^{z+2} (f_{-2}(x) - t_{-2}(x))\,dx = 0.$$

Begründen Sie mithilfe von Abbildung 2 und ohne zusätzliche Rechnungen, dass genau ein Wert für $z$ die Gleichung erfüllt.