Aufgabe 1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR) 2017

In einer Senke verläuft ein Fluss. Abbildung 1 zeigt modellhaft einen Querschnitt der Senke und der beiden horizontalen Uferzonen.

Im Querschnitt kann die Profillinie der Senke modellhaft durch die Funktion $f$ mit $f(x) = -5x^2e^x + 1$ und $x \in [-6; 0]$ beschrieben werden. Die Wasseroberfläche wird im Modell durch einen Abschnitt der $x$-Achse dargestellt, die Uferzonen durch zwei Strecken, die jeweils parallel zur $x$-Achse verlaufen und lückenlos an den Graphen von $f$ anschließen. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Zur Funktion $f$ sind Gleichungen der ersten und zweiten Ableitungsfunktion sowie einer Stammfunktion gegeben:

$f'(x) = -5x \cdot (2 + x) \cdot e^x$

$f''(x) = -10e^x - 20xe^x - 5x^2e^x$

$F(x) = x - 5 \cdot (x^2 - 2x + 2) \cdot e^x$

i)

Das Produkt aus dem Flächeninhalt des Flussquerschnitts (in $\mathrm{m^2}$) und der Fließgeschwindigkeit des Wassers (in $\mathrm{\frac{m}{s}}$) wird als Durchflussrate bezeichnet. Die Fließgeschwindigkeit des Wassers beträgt $0{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}$. Der Abschnitt der x-Achse, der die Wasseroberfläche im Modell darstellt, wird näherungsweise durch $x \approx -4{,}7$ und $x \approx -0{,}6$ begrenzt. Berechnen Sie die Durchflussrate.