Aufgabe WTR 1 - 1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2024

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f \colon x \mapsto \frac{4}{1+e^x}$. Der Graph ist symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts $(0 \mid 2)$.

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $F \colon x \mapsto 4x - 4 \cdot \ln(e^x + 1)$.

d

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $F: x \mapsto 4x - 4 \cdot \ln(e^x + 1)$.

Zeigen Sie, dass die Funktion $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.

f

Begründen Sie, dass der Wert des Integrals $\int_{-k}^k f(x)\,\mathrm{d}x$ für jede positive reelle Zahl $k$ ohne Verwendung einer Stammfunktion von $f$ exakt bestimmt werden kann, und geben Sie den Wert des Integrals an.