Aufgabe WTR 3 · Aufgabe 1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2019

Die Abbildung zeigt den Graphen $G_f$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: x \mapsto x^2 \cdot \mathrm{e}^{1-x}$ sowie den Graphen $G_{f'}$ der zugehörigen ersten Ableitungsfunktion $f'$.

Der Graph von $f$ beschreibt modellhaft die 7,5 Sekunden dauernde Fahrt eines Lastenaufzugs. Dabei ist $x$ die seit Beginn der Fahrt vergangene Zeit in Sekunden und $y$ die Geschwindigkeit des Aufzugs in Meter pro Sekunde.

Das für die 7,5 Sekunden dauernde Fahrt des Aufzugs bisher verwendete Modell wird geändert: Für $0 \le x \le 6$ wird die Fahrt weiterhin durch $G_f$, für $x \ge 6$ jedoch mithilfe der Tangente an $G_f$ im Punkt $(6 \mid f(6))$ beschrieben.

Teilaufgabe 1 b

b)

Weisen Sie nach, dass $F(x) = -(x^2 + 2x + 2)\cdot e^{1-x}$ ein Term einer Stammfunktion von $f$ ist:

$F_1(x) =$

Teilaufgabe 1 g

g)

Der Wert des Terms $\int_0^{7{,}5} f(x)\,\mathrm{d}x$ kann als Länge der vom Aufzug zurückgelegten Strecke interpretiert werden. Berechnen Sie diese Länge.

Teilaufgabe 1 i

i)

Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:

„Würde der Graph von $f$ die Fahrt eines Aufzugs beschreiben, die länger als 7,5 Sekunden dauert, so wäre die von diesem Aufzug zurückgelegte Strecke – unabhängig von der Dauer seiner Fahrt – kürzer als $5{,}5\,\mathrm{m}$.“

Teilaufgabe 1 l

l)

Der Aufzug legt im geänderten Modell während der gesamten Fahrtzeit von $7{,}5$ Sekunden eine bestimmte Strecke zurück. Beschreiben Sie, wie man denjenigen Zeitpunkt berechnen könnte, bis zu dem der Aufzug diese Strecke im ursprünglichen Modell zurücklegt.