Aufgabe WTR 2 · Aufgabe 1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2019

Thema: Integralrechnung: Flächen und Bestände · Aus der Prüfung LK · Teil B · Analysis (WTR) (2019)

Aufgabenstellung

Aufgabe 1

Für jeden Wert von k∈R+k \in \mathbb{R}^+ ist eine in R\mathbb{R} definierte Funktion fk:x↦8k⋅(kx−1)2⋅(kx+1)2f_k: x \mapsto 8k \cdot (kx - 1)^2 \cdot (kx + 1)^2 festgelegt. Der Graph von fkf_k wird mit GkG_k bezeichnet.

GkG_k schließt im ersten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück ein. Die Abbildung 2 zeigt dieses Flächenstück (grau markiert) sowie das Rechteck mit den Eckpunkten (0∣fk(0))(0 \mid f_k(0)) und (1k∣0)(\frac{1}{k} \mid 0), dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen sind.

f

Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks.

Bei Rotation des Rechtecks um die x-Achse entsteht ein Körper, ebenso bei Rotation um die y-Achse.

g

Skizzieren Sie einen der beiden Körper und beschriften Sie die Skizze mit den Maßen des Körpers.

h

Ermitteln Sie denjenigen Wert von kk, für den die beiden Körper das gleiche Volumen haben.

i

Bei Rotation des grau markierten Flächenstücks um die y-Achse entsteht ein weiterer Körper. Begründen Sie, dass das Volumen dieses Körpers mit zunehmendem Wert von kk beliebig klein wird.

Aufgabenstellung: Aufgabe WTR 2 · Aufgabe 1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2019

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

f Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks.

Lösung: 6415\frac{64}{15}

g Skizzieren Sie einen der beiden Körper und beschriften Sie die Skizze mit den Maßen des Körpers.

Lösung: Skizze eines Zylinders mit Radius 1k\frac{1}{k} und Höhe fk(0)=8kf_k(0) = 8k (bei Rotation um die y-Achse) bzw. Radius 8k8k und Höhe 1k\frac{1}{k} (bei Rotation um die x-Achse).

h Ermitteln Sie denjenigen Wert von k, für den die beiden Körper das gleiche Volumen haben.

Lösung: k=18k = \frac{1}{\sqrt{8}}

i Begründen Sie, dass das Volumen dieses Körpers mit zunehmendem Wert von k beliebig klein wird.

Lösung: Das Volumen des Körpers ist stets kleiner als das Volumen des Zylinders, der bei Rotation des umgebenden Rechtecks um die y-Achse entsteht. Für das Zylindervolumen gilt: lim⁡k→∞((1k)2⋅π⋅8k)=lim⁡k→∞8πk=0\lim_{k \to \infty} \left(\left(\frac{1}{k}\right)^2 \cdot \pi \cdot 8k\right) = \lim_{k \to \infty} \frac{8\pi}{k} = 0 Da das Volumen des Rotationskörpers stets positiv und kleiner als das des Zylinders ist, wird es für k→∞k \to \infty ebenfalls beliebig klein.

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