Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2021

Aufgabe B4: Nutzungsdauer von E-Scootern

a)

In Deutschland werden E-Scooter immer beliebter. Wie lange ein einzelner E-Scooter genutzt wird, hängt jedoch stark davon ab, ob er verliehen oder privat genutzt wird. Ersten Studien zufolge ist ein Leihfahrzeug durchschnittlich nur 30 Tage im Einsatz, ein privater E-Scooter dagegen durchschnittlich 365 Tage.

(1) Ein Hersteller liefert 90 % seiner E-Scooter an Verleihfirmen, die übrigen E-Scooter dieses Herstellers werden privat genutzt.

Bestimmen Sie die mittlere Nutzungsdauer der E-Scooter dieses Herstellers.

(2) Die E-Scooter eines anderen Herstellers werden im Mittel 120 Tage genutzt.

Ermitteln Sie den Anteil der E-Scooter, die dieser Hersteller für private Haushalte herstellt.

Personen, die gelegentlich E-Scooter fahren, heißen in dieser Aufgabe E-Scooter-Nutzende. Vereinfachend soll gelten: Die Zufallsgröße $X$, welche die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden in einer zufällig gewählten Personengruppe beschreibt, ist binomialverteilt.

b)

E-Scooter kommen vorwiegend in Großstädten zum Einsatz. In einer deutschen Großstadt nutzt eine zufällig gewählte Person mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % gelegentlich einen E-Scooter. Dort werden 200 zufällig gewählte Personen gefragt, ob sie gelegentlich E-Scooter nutzen.

(1) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:

E1: Weniger als 17 der Befragten sind E-Scooter-Nutzende.

E2: Unter den Befragten sind mindestens so viele E-Scooter-Nutzende, wie zu erwarten ist.

(2) Mit dem folgenden unvollständigen Ansatz wird die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Kontext der oben beschriebenen Stichprobe bestimmt:

$$P(X = \_\_\_\_) = \_\_\_\_\_\_\_\_ \cdot 0{,}1^{15} \cdot \_\_\_\_\_\_\_$$

(i) Vervollständigen Sie den Ansatz und geben Sie ihn an.

(ii) Nennen Sie ein Ereignis im Kontext der oben beschriebenen Stichprobe, dessen Wahrscheinlichkeit sich mit diesem Ansatz berechnen lässt.

(iii) Interpretieren Sie die Bestandteile der rechten Seite des Ansatzes im Sachzusammenhang.

c)

In einer anderen deutschen Großstadt liegt die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig gewählte Person gelegentlich E-Scooter nutzt, derzeit nur bei 6 %. Ein E-Scooter-Hersteller will $p$ mit einer gezielten Werbekampagne steigern. Nach der Kampagne sollen 150 zufällig gewählte Personen dieser Stadt befragt werden, um zu überprüfen, ob die Kampagne erfolgreich war. Das Unternehmen wertet die Kampagne als erfolgreich, wenn unter den 150 Befragten mindestens 12 E-Scooter-Nutzende sind.

(1) Es wird angenommen, dass sich $p$ nicht verändert hat.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der das Unternehmen aufgrund der Befragung trotzdem von einem Erfolg der Werbekampagne ausgehen würde.

(2) Es wird nun angenommen, dass sich $p$ sogar verdoppelt hat.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der das Unternehmen in diesem Fall aufgrund der Befragung einen Misserfolg der Kampagne annehmen würde.

(3) Nach der Werbekampagne hat sich die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig ausgewählte Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt, verändert. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 50 zufällig ausgewählten Personen höchstens eine Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt, beträgt nun 5 %. Der Wert von $p$ lässt sich über den folgenden Ansatz berechnen:

$$(1-p)^{50} + 50 \cdot p \cdot (1-p)^{49} = 0{,}05$$

Geben Sie an, was die beiden Summanden auf der linken Seite der Gleichung im Sachzusammenhang bedeuten.