Aufgabe 1 (WTR 3) - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeits… · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2025

Bei einer Naturkostkette besitzen die meisten Kundinnen und Kunden ein Konto für Online-Bestellungen. Im Folgenden werden ausschließlich diese Personen betrachtet. $72\,\%$ der Personen sind jünger als 50 Jahre. $18\,\%$ der Personen sind jünger als 50 Jahre und wohnen nicht in einer Großstadt. Der Anteil der Personen, die in einer Großstadt wohnen, beträgt $75\,\%$. Es soll davon ausgegangen werden, dass in einer zufälligen Auswahl von Personen die Anzahl derjenigen, die in einer Großstadt wohnen, binomialverteilt ist.

c

Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wie folgt berechnet werden kann:

$$\sum_{k=40}^{110} \binom{160}{k} \cdot 0{,}75^k \cdot 0{,}25^{160-k}$$

Geben Sie die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang an.

Die Naturkostkette produziert Gläser mit veganem Brotaufstrich. Diese Gläser werden in Kisten verpackt; jede Kiste enthält 50 Gläser. Für die Naturkostkette belaufen sich die Gesamtkosten auf 2,00 € pro Glas.

Ein Glas weist mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % einen optischen Mangel auf. Die Naturkostkette legt daher generell für die Bezahlung einer gelieferten Kiste Folgendes fest:

Wenn höchstens sechs Gläser diesen Mangel aufweisen, so muss für die Kiste der vollständige Preis bezahlt werden.

Wenn genau sieben oder genau acht Gläser diesen Mangel aufweisen, so muss für die Kiste der halbe Preis bezahlt werden.

Wenn mehr als acht Gläser diesen Mangel aufweisen, so muss für die Kiste nichts bezahlt werden.

Die in den folgenden Teilaufgaben aufgeführten Näherungswerte für Wahrscheinlichkeiten sollen bei Verwendung in weiteren Rechnungen als exakte Werte betrachtet werden.

d

Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer der Produktion entnommenen Kiste höchstens sechs Gläser den Mangel aufweisen, etwa 0,77 beträgt.

e

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer der Produktion entnommenen Kiste genau sieben oder genau acht Gläser diesen Mangel aufweisen, beträgt etwa 0,17. Es wird davon ausgegangen, dass bei jeder Lieferung alle Gläser von der Kundin bzw. vom Kunden überprüft werden und die Anzahl der Gläser mit diesem Mangel der Naturkostkette wahrheitsgemäß rückgemeldet wird. Ermitteln Sie den geringsten Preis pro Glas mit veganem Brotaufstrich auf Cent genau, so dass die Naturkostkette im Mittel einen Gewinn von mindestens 0,50 € pro Glas erwarten kann.