Aufgabe B4 · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

In Nordrhein-Westfalen fanden im Jahr 2018 rund 390000 praktische Führerscheinprüfungen statt. Etwa 70 % dieser Prüfungen wurden bestanden.

a)

Eine Fahrschulkette erwartet am Standort Düsseldorf für 2021 insgesamt 250 praktische Führerscheinprüfungen. Die Zufallsvariable $X$ gibt an, wie viele dieser 250 praktischen Prüfungen bestanden werden. Modellhaft wird $X$ als binomialverteilt mit $p = 0{,}7$ angenommen.

(1) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für jedes der folgenden Ereignisse:

(2) Dabei sei $k$ eine ganze Zahl mit $0 \leq k \leq 250$.

b)

Die Fahrschulkette will 2022 eine Filiale in Soest eröffnen. Als Qualitätsanspruch an die Ausbildung verlangt die Zentrale, dass im Schnitt mindestens 70 % der praktischen Prüfungen bestanden werden. Für Soest rechnet man 2022 mit 200 abgelegten praktischen Prüfungen. Werden davon mindestens 140 bestanden, geht die Zentrale davon aus, dass auch in Soest wegen der Ausbildungsqualität jede Prüfung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70 % bestanden wird. Modellhaft sei die Anzahl $Y$ der bestandenen Prüfungen unter den 200 prognostizierten binomialverteilt.

(1) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zentrale annimmt, in Soest werde jede Prüfung mit mindestens 70 % Wahrscheinlichkeit bestanden, obwohl die tatsächliche Bestehenswahrscheinlichkeit je Prüfung nur 65 % beträgt.

(2) Die Abbildung stellt das Histogramm zu $P_{200;0{,}7}(Y = k)$ dar, also für $p = 0{,}7$.

Werden in Soest z. B. nur 130 der 200 prognostizierten praktischen Prüfungen bestanden, schließt die Zentrale, dass jede Prüfung dort mit einer Wahrscheinlichkeit von weniger als 70 % bestanden wird. Erklären Sie anhand des Histogramms, weshalb die Zentrale mit dieser Einschätzung möglicherweise falsch liegt.