Aufgabe 2 - Teil 1 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2020

Thema: Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Aus der Prüfung GK · Teil B · Stochastik (WTR) (2020)

Aufgabenstellung

Das Postunternehmen Q, das jährlich etwa 60 Millionen Briefe befördert, stellt 95 % aller Briefe am ersten Werktag nach ihrer Einlieferung zu.

1 Für 2000 zufällig ausgewählte Briefe wird untersucht, ob sie am ersten Werktag nach ihrer Einlieferung zugestellt werden.

a)

Begründen Sie, dass die Binomialverteilung dafür geeignet ist, Vorhersagen zum Ergebnis der Untersuchung zu treffen. [2 BE]

b)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: [3 BE]

AA: „Mindestens 1900 der Briefe werden am ersten Werktag nach ihrer Einlieferung zugestellt.“

BB: „Mehr als 100 der Briefe werden nicht am ersten Werktag nach ihrer Einlieferung zugestellt.“

c)

Entscheiden Sie für jeden der beiden Terme I und II, ob er die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass mindestens 100 der ausgewählten Briefe nicht am ersten Werktag nach ihrer Einlieferung zugestellt werden. Begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung. [4 BE]

I1−∑k=1012000((2000k)⋅0,05k⋅0,952000−k)\text{I}\quad 1 - \sum_{k=101}^{2000} \left( \binom{2000}{k} \cdot 0{,}05^k \cdot 0{,}95^{2000-k} \right)

Term I gibt die Wahrscheinlichkeit an:

Ja

Nein

II∑k=01900((2000k)⋅0,95k⋅0,052000−k)\text{II}\quad \sum_{k=0}^{1900} \left( \binom{2000}{k} \cdot 0{,}95^k \cdot 0{,}05^{2000-k} \right)

Term II gibt die Wahrscheinlichkeit an:

Ja

Nein

d)

Ermitteln Sie, wie viele Briefe zufällig ausgewählt werden müssten, damit die Standardabweichung für die Anzahl der Briefe, die am ersten Werktag nach ihrer Einlieferung zugestellt werden, doppelt so groß ist wie bei 2000 Briefen. [3 BE]

Aufgabenstellung: Aufgabe 2 - Teil 1 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2020

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a Begründen Sie, dass die Binomialverteilung dafür geeignet ist, Vorhersagen zum Ergebnis der Untersuchung zu treffen.

Lösung: Für jeden Brief wird nur untersucht, ob er am ersten Werktag nach seiner Einlieferung zugestellt wird oder nicht. Da die zu untersuchenden 2000 Briefe aus der sehr großen Anzahl aller beförderten Briefe zufällig ausgewählt wurden, kann davon ausgegangen werden, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Zustellung am ersten Werktag nach der Einlieferung für alle ausgewählten Briefe gleich groß ist.

b Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A: „Mindestens 1900 der Briefe werden am ersten Werktag nach ihrer Einlieferung zugestellt.“

Lösung: P(A)≈52,7 %P(A) \approx 52{,}7\,\% / 0,5270{,}527

b Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B: „Mehr als 100 der Briefe werden nicht am ersten Werktag nach ihrer Einlieferung zugestellt.“

Lösung: P(B)≈47,3 %P(B) \approx 47{,}3\,\% / 0,4730{,}473

c Entscheiden Sie für jeden der beiden Terme I und II, ob er die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass mindestens 100 der ausgewählten Briefe nicht am ersten Werktag nach ihrer Einlieferung zugestellt werden.

Lösung: Term I: Nein; Term II: Ja

c Begründung zu Term I

Lösung: Der Term I gibt die Wahrscheinlichkeit für das angegebene Ereignis nicht an. Begründung: Der erste Term gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass höchstens 100 der Briefe nicht am ersten Werktag nach ihrer Einlieferung zugestellt werden.

c Begründung zu Term II

Lösung: Der Term II gibt die Wahrscheinlichkeit für das angegebene Ereignis an. Begründung: Der zweite Term gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass höchstens 1900 der Briefe am ersten Werktag und damit mindestens 100 der Briefe nicht am ersten Werktag nach ihrer Einlieferung zugestellt werden.

d Ermitteln Sie, wie viele Briefe zufällig ausgewählt werden müssten, damit die Standardabweichung für die Anzahl der Briefe, die am ersten Werktag nach ihrer Einlieferung zugestellt werden, doppelt so groß ist wie bei 2000 Briefen.

Lösung: 8000

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