Aufgabe A3 - Aufgabe e - Zufallsgrößen und Wahrscheinlich… · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2021

Thema: Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Aus der Prüfung GK · Nachtermin · CAS (2021)

Aufgabenstellung

Es werden die drei Funktionen ff, gg und hh betrachtet, die wie folgt definiert sind:

f(x)=2x3+8x,  x∈R,f(x)=2x^3+8x, \; x \in \mathbb{R},g(x)=2x3−8x,  x∈R,g(x)=2x^3-8x, \; x \in \mathbb{R},h(x)=2x3+8x2,  x∈R.h(x)=2x^3+8x^2, \; x \in \mathbb{R}.

Abbildung 1 zeigt die Graphen von ff, gg und hh.

e) Die Zufallsgröße XX ist binomialverteilt mit den Parametern n=4n = 4 und p=0,2p = 0{,}2.

Entscheiden Sie bei jeder der nachstehenden Aussagen zur Zufallsgröße XX, ob sie wahr oder falsch ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung jeweils.

(1)

Die Zufallsgröße XX hat einen Erwartungswert, der mit ihrer Standardabweichung übereinstimmt.

wahr

falsch

(2)

Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Erfolge lässt sich durch P(X=2)=0,22⋅0,82P(X = 2) = 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^2 berechnen.

wahr

falsch

(3)

Die Zufallsgröße XX kann ein Zufallsexperiment beschreiben, bei dem aus einer Urne mit einer schwarzen Kugel und vier weißen Kugeln nacheinander vier Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden.

wahr

falsch

Aufgabenstellung: Aufgabe A3 - Aufgabe e - Zufallsgrößen und Wahrscheinlich… · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2021

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

Entscheidungen über Wahr/Falsch der drei Aussagen (1), (2) und (3)

Lösung: (1) wahr, (2) falsch, (3) falsch

(1) Die Zufallsgröße X hat einen Erwartungswert, der mit ihrer Standardabweichung übereinstimmt.

Lösung: Die Aussage ist wahr: n⋅p=4⋅0,2=0,8n \cdot p = 4 \cdot 0{,}2 = 0{,}8 und n⋅p⋅(1−p)=4⋅0,2⋅0,8=0,82=0,8\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{4 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8} = \sqrt{0{,}8^2} = 0{,}8.

(2) Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Erfolge lässt sich durch P(X = 2) = 0,2² · 0,8² berechnen.

Lösung: Die Aussage ist falsch: Richtig wäre P(X=2)=(42)⋅0,22⋅0,82P(X = 2) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^2.

(3) Die Zufallsgröße X kann ein Zufallsexperiment beschreiben, bei dem aus einer Urne mit einer schwarzen Kugel und vier weißen Kugeln nacheinander vier Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden.

Lösung: Die Aussage ist falsch: Da die Kugeln nicht zurückgelegt werden, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten mit jedem Zug, und die Zufallsgröße kann nicht binomialverteilt mit n=4n = 4 sein.

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