Aufgabe 1 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilu… · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Stochastik (CAS)

Ein Pharmakonzern entwickelt ein Medikament zur Behandlung der Krankheit K. Für die Zusammensetzung des Medikaments kommen zwölf Wirkstoffe infrage. Mit einer Vielzahl möglicher Wirkstoffkombinationen werden Tests durchgeführt.

Nach Abschluss der Entwicklung bringt der Pharmakonzern das neue Medikament auf den Markt. Einer Studie zufolge beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte an K erkrankte Person durch das Medikament geheilt wird, 80 %.

Die Behandlung mit dem Medikament kann zu Nebenwirkungen führen. Im Rahmen einer Untersuchung zur Dauer der Nebenwirkungen wurden Personen, die mit dem Medikament behandelt wurden, dazu befragt, wie lange Nebenwirkungen nach Beendigung der Behandlung andauerten. Die folgende Tabelle fasst das Ergebnis der Befragung zusammen:

Dauer in Monaten · 0 · 1 · 2 · 3 · 4

Anteil der Personen in % · 5 · 15 · 45 · 30 · 5

Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass in einem Land 0,2 % der Bevölkerung an K erkrankt sind.

Zur Erkennung der Krankheit K kann ein Test durchgeführt werden. Ist eine Person an K erkrankt, so ist das Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 % positiv. Ist eine Person nicht an K erkrankt, so beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Testergebnis irrtümlich positiv ist, 1 %.

Nach Abschluss der Entwicklung bringt der Pharmakonzern das neue Medikament auf den Markt. Einer Studie zufolge beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte an K erkrankte Person durch das Medikament geheilt wird, 80 %.

c)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 100 zufällig ausgewählten an K erkrankten Personen mindestens 80 durch das Medikament geheilt werden.

%

d)

Die Behandlung mit dem Medikament kann zu Nebenwirkungen führen. Im Rahmen einer Untersuchung zur Dauer der Nebenwirkungen wurden Personen, die mit dem Medikament behandelt wurden, dazu befragt, wie lange Nebenwirkungen nach Beendigung der Behandlung andauerten. Die folgende Tabelle fasst das Ergebnis der Befragung zusammen:

Dauer in Monaten

0

1

2

3

4

Anteil der Personen in %

5

15

45

30

5

Eine der befragten Personen wird zufällig ausgewählt; die Zufallsgröße $X$ gibt die zugehörige Dauer der Nebenwirkungen in Monaten an. Berechnen Sie den Erwartungswert von $X$ und beschreiben Sie dessen Bedeutung im Sachzusammenhang.

e)

Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass in einem Land 0,2 % der Bevölkerung an K erkrankt sind.

Ermitteln Sie für dieses Land, wie groß die Anzahl zufällig ausgewählter Personen mindestens sein muss, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass davon mindestens eine Person an K erkrankt ist, mindestens 90 % beträgt.