Aufgabe e (A2) · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2021

Aufgabenstellung

Für ein Spiel stehen die beiden unten abgebildeten Urnen zur Verfügung, die schwarze und weiße Kugeln enthalten:

In diesem Spiel werden nach den folgenden Regeln insgesamt zwei Kugeln gezogen:

Als Erstes wird zufällig eine Kugel aus Urne A entnommen.

Ist diese Kugel aus Urne A schwarz, folgt danach eine zufällige Ziehung einer Kugel aus Urne B.

Ist die zuerst aus Urne A gezogene Kugel dagegen weiß, wird ohne Zurücklegen zufällig eine zweite Kugel aus Urne A gezogen.

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n = 4$ und $p = 0{,}2$ .

Entscheiden Sie bei jeder der nachstehenden Aussagen zur Zufallsgröße $X$ , ob sie wahr oder falsch ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung jeweils.

(1)

Für die Zufallsgröße $X$ stimmen Erwartungswert und Standardabweichung überein.

wahr

falsch

(2)

Mit dem Ansatz $P(X = 2) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}2^4 \cdot 0{,}8^2$ lässt sich die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Erfolge berechnen.

wahr

falsch

(3)

Es gilt $P(X = 0) = P(X = 1)$ .

wahr

falsch

Aufgabenstellung: Aufgabe e (A2) · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2021

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

Entscheiden Sie bei den Aussagen (1), (2) und (3), ob sie wahr oder falsch sind.

Lösung: (1) wahr, (2) falsch, (3) wahr

(1) Begründung zur Übereinstimmung von Erwartungswert und Standardabweichung:

Lösung: $n \cdot p = 4 \cdot 0{,}2 = 0{,}8$ und $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{4 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8} = \sqrt{0{,}8^2} = 0{,}8$

(2) Begründung zur Bestimmung von $P(X = 2)$ :

Lösung: Richtig wäre $P(X = 2) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^2$

(3) Begründung zu $P(X = 0) = P(X = 1)$ :

Lösung: $P(X = 0) = 0{,}8^4$ und $P(X = 1) = 4 \cdot 0{,}2^1 \cdot 0{,}8^3 = 0{,}8^4$

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