Aufgabe MMS 1 - Aufgabe 3 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2026

Eine Supermarktkette bietet für Personen, die bei ihr einkaufen, ein Treuepunktesystem an. Diese Personen werden im Folgenden als Kundenkreis bezeichnet. Beim Bezahlen an der Kasse erhält man auf Wunsch pro 5 € Warenwert einen Treuepunkt zum Aufkleben. 75 % der Personen aus dem Kundenkreis der Supermarktkette sammeln Treuepunkte.

Aufgabe 3

Die normalverteilte ZufallsgröÑe $X$ hat den Erwartungswert $19$ und die Standardabweichung $3$. Für eine weitere ZufallsgröÑe $C$, die natürliche Zahlen als Werte annimmt, gilt:

$P(C = 0) = P(X \le 0{,}5)$ sowie

$P(C = k) = P(k - 0{,}5 \le X \le k + 0{,}5)$ für $k \in \mathbb{N}$ und $k \ge 1$.

a)

Berechnen Sie $P(C = 20)$. [2 BE]

Betrachtet wird ein Einkauf mit einem Warenwert von $95{,}00\text{ €}$ bis $99{,}99\text{ €}$. Bei diesem Einkauf wird davon ausgegangen, dass die an der Kasse auf Wunsch ausgegebenen Treuepunkte in zufälliger Anzahl von einer Rolle abgerissen werden. Dabei beschreibt die ZufallsgröÑe $C$ die Anzahl der ausgegebenen Treuepunkte.

b)

GemäÑ dem Modell ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dem betrachteten Einkauf $1000$ Treuepunkte ausgegeben werden, gröÑer als $0$. Begründen Sie, dass diese Tatsache kein Argument gegen die Verwendung des beschriebenen Modells ist. [2 BE]

c)

Das Management der Supermarktkette nimmt an, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $50\,\%$ bei einem beliebigen Einkauf die Anzahl der tatsächlich ausgegebenen Treuepunkte von der dem Warenwert entsprechenden Anzahl an Treuepunkten um höchstens zwei abweicht. Beurteilen Sie, ob die Annahme des Managements bei dem betrachteten Einkauf zutrifft. [3 BE]