Aufgabe A2 - Aufgabe e · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2021

Thema: Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Aus der Prüfung GK · Haupttermin · GTR (2021)

Aufgabenstellung

Betrachtet wird die auf R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x.

e) Nachfolgend werden immer zwei Würfel zusammen geworfen. Die Seiten jedes Würfels tragen die Zahlen 1 bis 6.

(1)

Beide Würfel werden ein einziges Mal geworfen.

Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei keine „6“ auftritt, 2536\frac{25}{36} beträgt.

(2)

Die beiden Würfel werden 36-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsgröße XX gibt die Anzahl der Würfe an, bei denen keine „6“ auftritt.

Begründen Sie für jede der folgenden Abbildungen 4, 5 und 6, dass sie nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von XX zeigt.

Aufgabenstellung: Aufgabe A2 - Aufgabe e · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2021

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

(1) Begründen Sie, dass 25/36 die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass hierbei keine „6“ erscheint.

Lösung: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Würfel keine „6“ zeigt, ist für jeden der beiden Würfel unabhängig voneinander 56\frac{5}{6}. Damit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Würfel keine „6“ zeigen, 56⋅56=2536\frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}.

(2) Begründen Sie für Abbildung 4, weshalb sie nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X darstellt.

Lösung: Der Erwartungswert von XX ist 36⋅2536=2536 \cdot \frac{25}{36} = 25. Die höchste Säule befindet sich in Abbildung 4 bei 20, nicht bei 25.

(2) Begründen Sie für Abbildung 5, weshalb sie nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X darstellt.

Lösung: Die Summe der Höhen der Säulen ist größer als 1 (die Säulen um den Erwartungswert erreichen bereits addiert Werte über 1).

(2) Begründen Sie für Abbildung 6, weshalb sie nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X darstellt.

Lösung: Die Höhe der Säule bei 37 (sowie für alle Werte größer als 36) ist größer als null, obwohl bei n=36n = 36 maximal 36 Erfolge auftreten können.

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