Aufgabe 1 (WTR 1) - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeits… · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2025

In einer Großstadt wurde bei einer Erhebung der Anteil der überbelegten Haushalte an allen Haushalten erfasst. Ein Haushalt gilt als überbelegt, wenn er über zu wenige Zimmer in Bezug auf die Anzahl der im Haushalt lebenden Personen verfügt.

In $28{,}5\,\%$ aller Haushalte lebt mindestens ein Kind. Von diesen Haushalten sind $15{,}9\,\%$ überbelegt. Bei den Haushalten ohne Kind beträgt der Anteil der überbelegten Haushalte $6{,}5\,\%$.

Unter allen Haushalten der Großstadt werden 1000 Haushalte zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der überbelegten Haushalte in der Stichprobe und wird als binomialverteilt angenommen.

c

Beurteilen Sie ohne Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die folgende Aussage: [2 BE]

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ nimmt für 90 den größtmöglichen Wert an.

d

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den 1000 zufällig ausgewählten Haushalten höchstens $k$ Haushalte überbelegt sind, soll mehr als $90\,\%$ betragen. Ermitteln Sie den kleinstmöglichen Wert für $k$. [4 BE]