Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2021

E-Scooter (Elektro-Roller) werden in Deutschland immer beliebter. Wie lange ein einzelner E-Scooter im Einsatz ist, hängt jedoch stark davon ab, ob er verliehen oder privat genutzt wird. Erste Untersuchungen zeigen, dass ein Leih-E-Scooter durchschnittlich nur 30 Tage genutzt wird, ein privater E-Scooter dagegen durchschnittlich 365 Tage.

a) (1)

Ein Hersteller liefert 90 % seiner E-Scooter an Verleihfirmen, die übrigen E-Scooter werden privat genutzt. Bestimmen Sie die mittlere Nutzungsdauer der E-Scooter dieses Herstellers.

a) (2)

Bei einem anderen Hersteller liegt die mittlere Nutzungsdauer seiner E-Scooter bei 120 Tagen. Ermitteln Sie den Anteil der E-Scooter, die dieser Hersteller für private Haushalte herstellt.

In dieser Aufgabe heißen alle Personen, die gelegentlich einen E-Scooter fahren, E-Scooter-Nutzende. Vereinfachend sei angenommen, dass die Zufallsgröße $X$, welche die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden in einer zufällig gewählten Personengruppe beschreibt, binomialverteilt ist.

b) E-Scooter fährt man vor allem in Großstädten. In einer deutschen Großstadt nutzt eine zufällig gewählte Person mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % gelegentlich einen E-Scooter. In dieser Stadt werden 200 zufällig gewählte Personen gefragt, ob sie gelegentlich einen E-Scooter nutzen.

b) (1)

Mit dem folgenden unvollständigen Ansatz wird die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Sachzusammenhang der oben beschriebenen Stichprobe bestimmt:

$$P(X = \_\_) = \_\_\_\_\_ \cdot 0{,}1^{15} \cdot \_\_\_\_\_$$

b) (2) (i)

b) (2) (ii)

b) (2) (iii)

c) In einer anderen deutschen Großstadt liegt die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig gewählte Person gelegentlich einen E-Scooter nutzt, derzeit nur bei 6 %. Ein E-Scooter-Hersteller will $p$ mit einer gezielten Werbekampagne steigern. Nach der Kampagne sollen 150 zufällig gewählte Personen dieser Stadt befragt werden, um zu prüfen, ob die Kampagne erfolgreich war. Das Unternehmen wertet die Kampagne als erfolgreich, wenn unter den 150 Befragten mindestens 12 E-Scooter-Nutzende sind.

c) (1)

c) (2)

Nach der Werbekampagne hat sich die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig ausgewählte Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt, verändert. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 50 zufällig ausgewählten Personen höchstens eine Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt, beträgt nun 5 %. Der Wert von $p$ lässt sich über den folgenden Ansatz berechnen:

$$(1-p)^{50} + 50 \cdot p \cdot (1-p)^{49} = 0{,}05$$

c) (3)