Aufgabe B4 · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR 2021

In dieser Aufgabe heißen alle Personen, die ab und zu einen E-Scooter fahren, E-Scooter-Nutzende. Zur Vereinfachung sei angenommen, dass die Zufallsgröße $X$, welche die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden in einer zufällig gewählten Personengruppe beschreibt, binomialverteilt ist.

a)

E-Scooter (Elektro-Roller) erfreuen sich in Deutschland wachsender Beliebtheit. Die Nutzungsdauer eines einzelnen E-Scooters ist allerdings sehr davon abhängig, ob er als Verleihfahrzeug oder in einem privaten Haushalt verwendet wird. Erste Studien haben gezeigt, dass ein Verleihfahrzeug im Durchschnitt lediglich 30 Tage genutzt wird, während ein privater E-Scooter im Durchschnitt 365 Tage genutzt wird.

(1)

Ein Hersteller liefert 90 % seiner E-Scooter an Verleihfirmen, die übrigen werden privat genutzt. Bestimmen Sie die durchschnittliche Nutzungsdauer der E-Scooter dieses Herstellers.

(2)

Für die E-Scooter eines anderen Herstellers beträgt die durchschnittliche Nutzungsdauer 120 Tage. Ermitteln Sie den Anteil der E-Scooter, die dieser Hersteller für private Haushalte herstellt.

b)

E-Scooter werden vor allem in Großstädten benutzt. In einer deutschen Großstadt beträgt die Wahrscheinlichkeit 10 %, dass eine zufällig ausgewählte Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt. In dieser Stadt werden 200 zufällig ausgewählte Personen befragt, ob sie gelegentlich einen E-Scooter benutzen.

(1)

Ermitteln Sie für jedes der folgenden Ereignisse die Wahrscheinlichkeit:

E1: Weniger als 17 der befragten Personen sind E-Scooter-Nutzende.

E2: Unter den befragten Personen sind mindestens so viele E-Scooter-Nutzende, wie zu erwarten sind.

(2)

Der folgende, unvollständige Ansatz wird zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Sachzusammenhang der oben genannten Stichprobe verwendet:

$$P(X=\_\_\_\_) = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\cdot 0{,}1^{15}\cdot \_\_\_\_\_\_\_$$

(i)

Vervollständigen Sie den Ansatz und geben Sie ihn an.

(ii)

Nennen Sie ein Ereignis im Kontext der genannten Stichprobe, dessen Wahrscheinlichkeit sich mit diesem Ansatz berechnen lässt.

(iii)

Interpretieren Sie die Bestandteile der rechten Seite des Ansatzes im Sachzusammenhang.

c)

In einer anderen deutschen Großstadt beträgt die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig ausgewählte Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt, zurzeit nur 6 %. Ein Unternehmen, das E-Scooter herstellt, möchte diese Wahrscheinlichkeit $p$ durch eine gezielte Werbekampagne erhöhen. Nach der Durchführung der Werbekampagne soll durch eine Befragung von 150 zufällig ausgewählten Personen dieser Stadt geprüft werden, ob die Kampagne erfolgreich war. Das Unternehmen geht davon aus, dass die Kampagne erfolgreich war, wenn unter den 150 Befragten mindestens 12 E-Scooter-Nutzende sind.

(1)

Angenommen die Wahrscheinlichkeit $p$ habe sich nicht verändert. Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Unternehmen auf Grundlage der Befragung dennoch davon ausgehen würde, dass die Werbekampagne erfolgreich gewesen sei.

(2)

Angenommen die Wahrscheinlichkeit $p$ habe sich sogar verdoppelt. Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Unternehmen in diesem Fall auf Grundlage der Befragung darauf schließen würde, dass die Kampagne nicht erfolgreich war.

(3)

Nach der Werbekampagne hat sich die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig ausgewählte Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt, verändert. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 50 zufällig ausgewählten Personen höchstens eine Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt, beträgt nun 5 %. Der Wert von $p$ lässt sich über den folgenden Ansatz berechnen:

$$(1-p)^{50} + 50\cdot p\cdot (1-p)^{49} = 0{,}05$$

Geben Sie an, welche Bedeutung die beiden Summanden auf der linken Seite der Gleichung im Sachzusammenhang haben.