Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

In Nordrhein-Westfalen fanden 2018 rund 390000 praktische Führerscheinprüfungen statt. Etwa $70\,\%$ dieser Prüfungen wurden in jenem Jahr bestanden.

Werden in einer Fahrschule $n$ praktische Prüfungen abgelegt, gibt die Zufallsgröße $X$ im Folgenden jeweils die Zahl der bestandenen Prüfungen an. Vereinfachend soll gelten, dass $X$ immer binomialverteilt ist.

a) Eine Fahrschulkette rechnet für ihren Standort Düsseldorf im Jahr 2021 mit insgesamt 250 praktischen Führerscheinprüfungen. Im Modell gilt: $X$ ist binomialverteilt mit $p = 0{,}7$.

(1)

Ermitteln Sie zu jedem der folgenden Ereignisse die zugehörige Wahrscheinlichkeit:

$E1$: „Es werden höchstens 160 praktische Prüfungen bestanden.“

$E2$: „Es werden mehr als $80\,\%$ der praktischen Prüfungen bestanden.“

$E3$: „Die Anzahl der bestandenen praktischen Prüfungen ist um fünf größer als der Erwartungswert.“

(2)

(i) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 165 praktische Prüfungen bestanden werden.

(ii) Ermitteln Sie den kleinsten Wert der Zahl $k$, für den die Wahrscheinlichkeit, mindestens $k$ praktische Prüfungen zu bestehen, höchstens $60\,\%$ beträgt.

c) Eine weitere Fahrschulkette erstellt für ihren Standort Bielefeld eine Prognose für 2021. Danach beträgt der Erwartungswert der bestandenen praktischen Fahrprüfungen 255, die Standardabweichung 6,18.

Berechnen Sie den Stichprobenumfang $n$ sowie die Wahrscheinlichkeit $p$ einer dazu passenden binomialverteilten Zufallsgröße.

$p$:

$n$: